Nhân tổng với công bội rồi trừ
Đặt Sₙ=u₁+u₂+⋯+uₙ. Nhân với q cho qSₙ=u₂+⋯+uₙ₊₁. Trừ hai tổng, các số hạng chung triệt tiêu:
$$(q-1)S_n=u_{n+1}-u_1=u_1(q^n-1).$$
Nếu q≠1, ta có:
$$S_n=u_1\frac{q^n-1}{q-1}=u_1\frac{1-q^n}{1-q}.$$
Nếu q=1, mọi số hạng bằng u₁ nên Sₙ=nu₁. Đây là tổng **hữu hạn**; công thức không yêu cầu |q|<1. Số mũ trong tổng là n, còn trong uₙ là n−1.
Tổng năm số hạng đầu
Cấp số nhân có u₁=2,q=3. Tổng năm số hạng đầu là:
$$S_5=2\frac{3^5-1}{3-1}=242.$$
Kiểm bằng liệt kê 2+6+18+54+162=242. Số 162 là u₅, không phải S₅. Nếu dùng mũ 4 trong công thức tổng, ta sẽ thiếu một số hạng.
Trường hợp q=1
Cấp số nhân u₁=7,q=1. S₄ bằng
Đó là một số hạng, chưa cộng 4 lần.
Đúng: bốn số hạng đều bằng 7.
Chỉ phân thức tổng quát không dùng được; tổng vẫn xác định.
49 không phải tổng bốn số hạng.
Lời giải
S₄=4·7=28. Không dùng phân thức có mẫu q−1=0.
Tổng khi 0<q<1
Tính tổng bốn số hạng đầu của cấp số nhân 8,4,2,1,…
u₁=8,q=1/2. Dùng dạng 1−qⁿ:
$$S_4=8\frac{1-(1/2)^4}{1-1/2}=15.$$
Có thể cộng trực tiếp 8+4+2+1=15. Không thay bằng 8/(1−1/2)=16: số 16 liên quan đến tổng vô hạn, trong khi bài chỉ cộng bốn số hạng.
Cộng từ số hạng thứ p đến q
Đoạn từ uₚ đến uₘ có m−p+1 số hạng và vẫn là cấp số nhân cùng công bội. Dùng uₚ làm số hạng đầu của đoạn, hoặc lấy Sₘ−Sₚ₋₁.
Chẳng hạn từ số hạng thứ 3 đến thứ 5 có ba số hạng, không phải hai. Đếm đúng số lượng trước khi thay số mũ trong công thức tổng.
Tìm số số hạng
Cấp số nhân u₁=1,q=2 có Sₙ=63. Tìm n.
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Chuyển vế đúng phải được $2^n=64$.
Số số hạng phải giải từ công thức tổng, không bằng giá trị của tổng.
Dãy bắt đầu từ $u_1$; công thức tổng đã đếm đúng 6 số hạng.
Lời giải
Sₙ=(2ⁿ−1)/(2−1)=2ⁿ−1. Vậy 2ⁿ=64=2⁶, nên n=6.
Tổng với công bội âm
Tính S₄ của cấp số nhân u₁=1,q=−2.
Công bội là $-2$, nên dấu các số hạng luân phiên.
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Bình phương và lũy thừa bậc chẵn của số âm phải dương.
Đây không phải công thức tổng và còn dùng sai số hạng đầu.
Lời giải
S₄=[(−2)⁴−1]/(−2−1)=15/(−3)=−5. Kiểm 1−2+4−8=−5.
Tổng một đoạn
Với cấp số nhân 1,2,4,8,16,…, tính tổng từ u₃ đến u₅.
Đề yêu cầu từ $u_3$ đến $u_5$, tức là $4,8,16$.
Số hạng $u_4=8$ ở giữa cũng thuộc đoạn cần cộng.
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Đoạn từ $u_3$ đến $u_5$ có 3 số hạng, nên số mũ trong công thức tổng là 3.
Lời giải
Đoạn gồm 4,8,16 nên tổng 28. Hoặc dùng 4(2³−1)/(2−1)=28.
Không nhầm hai loại tổng
Với u₁=3,q=2, có dùng 3/(1−2) để tính tổng 10 số hạng đầu không?
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Công thức này dành cho tổng lùi vô hạn khi $|q|<1$; ở đây $q=2$.
Công thức tổng phụ thuộc hữu hạn hay vô hạn và điều kiện của công bội.
Tổng hữu hạn luôn tính được bằng công thức $u_1(q^n-1)/(q-1)$ khi $q\ne1$.
Lời giải
Không. Tổng hữu hạn phải là S₁₀=3(2¹⁰−1)/(2−1)=3069. Công thức u₁/(1−q) không phải tổng hữu hạn.
Điều cần nhớ
Đọc số hạng đầu, công bội và số lượng số hạng cần cộng. Xử lí q=1 riêng; không thay tổng hữu hạn bằng công thức tổng vô hạn.
Đang học