Ứng dụng cấp số và cách đánh số

Tăng một lượng cố định hay một tỉ lệ cố định?

Hai dải bắt đầu từ 100; dải cộng 10 cho 110, 120, 130, còn dải tăng 10 phần trăm cho 110, 121, 133 phẩy 1. — Tăng cùng một lượng tạo cấp số cộng; tăng theo phần trăm của giá trị mới tạo cấp số nhân.

Thêm cùng d đơn vị mỗi bước thường dẫn đến cấp số cộng. Nhân cùng q, hoặc tăng cùng một tỉ lệ so với bước ngay trước, thường dẫn đến cấp số nhân. Đặt tên rõ: uₙ là lượng ở bước thứ n hay lượng sau n bước? Nếu bước đầu có u₁ thì đến bước n có n−1 lần thay đổi. Nếu lượng ban đầu là u₀ thì sau n bước đã có n lần thay đổi. Cuối cùng xem câu hỏi cần riêng bước cuối hay tổng các bước. Tổng số ghế nhiều hàng khác số ghế một hàng; tổng các khoản gửi khác số dư có lãi tại một thời điểm.

Hàng thứ mười và tổng mười hàng

Khán phòng có hàng đầu 18 ghế, mỗi hàng sau thêm 2 ghế. Gọi uₙ là số ghế hàng thứ n, ta có u₁=18,d=2. Hàng thứ 10 có u₁₀=18+9·2=36 ghế. Tổng 10 hàng là S₁₀=10(18+36)/2=270 ghế. Hai kết quả cùng dùng một cấp số cộng nhưng trả lời hai câu hỏi khác nhau.

Đếm lần tăng từ mốc 0

Ban đầu N₀=100, mỗi giờ nhân 2. Sau 3 giờ, lượng theo mô hình là

A300B400C800D1600

Gửi đều cuối kì

Trong bài toán giả định, cuối mỗi tháng gửi 1 triệu đồng, lãi 1% mỗi tháng, lãi nhập gốc; không rút tiền. Tính số dư ngay sau lần gửi thứ ba. Khoản thứ nhất đã có hai tháng sinh lãi, thành 1·1,01² triệu; khoản thứ hai có một tháng, thành 1·1,01 triệu; khoản thứ ba vừa gửi, chưa sinh lãi. Tổng là 1,01²+1,01+1=3,0301 triệu đồng. Theo thứ tự từ khoản mới nhất đến cũ nhất, đây là tổng ba số hạng của cấp số nhân u₁=1,q=1,01. Nếu gửi đầu tháng hoặc hỏi ở thời điểm khác, số kì sinh lãi sẽ đổi.

Giữ đúng điều kiện mô hình

Với gửi đều cuối mỗi kì một khoản P và lãi r mỗi kì, số dư ngay sau lần gửi thứ n là tổng P+P(1+r)+⋯+P(1+r)ⁿ⁻¹, theo các giả thiết không đổi đã nêu. Nếu chỉ gửi một lần ban đầu, ta dùng một số hạng P(1+r)ⁿ, không dùng tổng nhiều khoản gửi. Có thể vẽ một bảng thời điểm ngắn để đếm số kì trước khi áp dụng công thức.

Chọn cấp số cộng

Ngày đầu đọc 10 trang, mỗi ngày sau đọc thêm 2 trang so với ngày trước. Ngày thứ 5 đọc bao nhiêu trang, và cả 5 ngày đọc bao nhiêu?

ANgày thứ 5 đọc 20 trang và tổng 75 trang vì có 5 lần tăng.Bu₅=10+4·2=18 trang. S₅=5(10+18)/2=70 trang.CNgày thứ 5 đọc 18 trang và tổng 90 trang.DNgày thứ 5 đọc 16 trang và tổng 65 trang.

Chọn cấp số nhân

Theo mô hình, lượng ban đầu 200, mỗi kì tăng 10% so với kì trước. Sau 2 kì bằng bao nhiêu?

ASau 2 kì là $200(1+0{,}1\cdot2)=240$.BSau 2 kì là $200\cdot1{,}1=220$.C200·1,1²=242, cùng đơn vị lượng ban đầu.DSau 2 kì là $200+1{,}1^2=201{,}21$.

Chỉ số bắt đầu từ 1

Sản lượng năm thứ nhất 50 đơn vị, mỗi năm sau tăng 20% so với năm trước. Viết sản lượng năm thứ n.

Auₙ=50·1,2ⁿ⁻¹ vì năm thứ nhất là u₁, đến năm n có n−1 lần tăng.B$u_n=50\cdot1{,}2^n$.C$u_n=50(1+0{,}2n)$.D$u_n=50+1{,}2^{n-1}$.

Thời điểm ngay sau khoản gửi đầu

Trong mô hình gửi cuối tháng của ví dụ, ngay sau lần gửi đầu tiên đã có 1,01 triệu đồng chưa?

ACó 1,01 triệu đồng vì khoản gửi được tính lãi ngay trong cùng thời điểm.BChưa. Khoản 1 triệu vừa gửi chưa trải qua tháng sinh lãi nào; số dư ngay lúc đó là 1 triệu đồng.CCó 1,1 triệu đồng vì lãi suất là 10%.DChưa có tiền vì khoản gửi chỉ được ghi nhận vào đầu tháng sau.

Điều cần nhớ

Chọn cộng hay nhân theo đề, ghi mốc đầu, đếm số lần thay đổi rồi xem hỏi số hạng hay tổng. Một bảng ba thời điểm đầu thường đủ để kiểm cách đánh số.