Tổng vô hạn là giới hạn của các tổng riêng
Với cấp số nhân u₁,u₁q,u₁q²,…, gọi Sₙ là tổng n số hạng đầu. Khi q≠1:
$$S_n=\frac{u_1(1-q^n)}{1-q}.$$
Nếu |q|<1 thì qⁿ→0. Do đó Sₙ tiến tới một số hữu hạn:
$$S=\frac{u_1}{1-q}.$$
Ta gọi đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. Không phải “cộng đến số hạng cuối cùng”: dãy vô hạn không có số hạng cuối; ta lấy giới hạn của Sₙ.
Công bội có thể âm
Tính S=3−1+1/3−1/9+⋯. Số hạng đầu 3, công bội −1/3 có trị tuyệt đối nhỏ hơn 1.
Vậy S=3/[1−(−1/3)]=9/4. Dấu trừ trong công bội phải giữ nguyên trong mẫu.
Nếu chỉ cộng bốn số đầu ta được một tổng riêng, chưa phải S. Các tổng riêng tiến dần tới 9/4 khi thêm ngày càng nhiều số hạng.
Điều kiện của cấp số nhân lùi vô hạn
Điều kiện nào của q bảo đảm dùng công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn?
q=−2 cũng nhỏ hơn 1 nhưng không thỏa.
q=2 dương nhưng không thỏa.
Đúng: khi đó qⁿ→0.
Độ lớn các số hạng thường tăng khi |q|>1 và u₁ khác 0.
Lời giải
Điều kiện là −1<q<1, tức |q|<1.
Một mô hình bóng nảy
Thả bóng từ độ cao 2 m. Giả sử mỗi lần nảy, bóng lên cao bằng một nửa độ cao trước đó và quá trình tiếp tục vô hạn theo mô hình lí tưởng.
Bóng rơi lần đầu 2 m. Các độ cao nảy là 1;1/2;1/4;… có tổng 1/(1−1/2)=2 m. Mỗi độ cao ấy được đi một lượt lên và một lượt xuống.
Tổng quãng đường theo mô hình là 2+2·2=6 m. Không nhân đôi cả đoạn rơi đầu, vì đoạn ấy chỉ có một lượt.
Số thập phân tuần hoàn
Ta có 0,333…=0,3+0,03+0,003+⋯. Đây là tổng cấp số nhân với u₁=3/10,q=1/10, nên bằng (3/10)/(1−1/10)=1/3.
Nếu u₁≠0 và |q|≥1 thì các tổng riêng không hội tụ tới một số hữu hạn. Riêng dãy toàn số 0 có tổng 0; không cần áp đặt một công bội duy nhất cho dãy ấy.
Tổng dương
Tính 4+2+1+1/2+⋯.
Các số hạng sau vẫn đóng góp vào tổng; phải dùng công thức tổng vô hạn.
Công thức là $u_1/(1-q)$, không phải $1+q$.
Với $|q|<1$, tổng các số hạng hội tụ hữu hạn.
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Lời giải
u₁=4,q=1/2 nên tổng 4/(1−1/2)=8.
Từ số thập phân ra phân số
Viết 0,121212… dưới dạng phân số.
Đây mới là số hạng đầu; còn vô hạn phần lặp phía sau.
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Số thập phân nhỏ hơn 1 nên phân số lớn hơn 1 là không hợp lí; mẫu đúng là 99.
Rút gọn $12/99$ bằng 4/33, không phải 4/30.
Lời giải
Đây là 0,12+0,0012+⋯, u₁=12/100,q=1/100. Tổng 12/99=4/33.
Không dùng công thức ngoài điều kiện
Có thể gán 1−1+1−1+⋯ bằng 1/(1−(−1))=1/2 theo bài này không?
Công thức chỉ áp dụng khi $|q|<1$; ở đây $|q|=1$.
Các tổng riêng luân phiên 1 và 0, không tiến tới một giới hạn chung.
Các công bội âm có độ lớn nhỏ hơn 1 vẫn cho tổng hội tụ.
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Lời giải
Không. q=−1 không thỏa |q|<1. Các tổng riêng luân phiên 1 và 0, không có giới hạn chung.
Tổng từ số hạng thứ hai
Cấp số nhân lùi vô hạn có u₁=6,q=1/3. Tính tổng từ u₂ trở đi.
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Đây là tổng từ số hạng thứ nhất; đề yêu cầu bỏ $u_1=6$.
Còn các số hạng từ $u_3$ trở đi cũng phải được cộng.
Muốn bỏ số hạng đầu phải trừ $u_1=6$, không phải $u_2=2$.
Lời giải
u₂=2, nên tổng cần tìm 2/(1−1/3)=3. Hoặc tổng cả dãy 9 trừ u₁=6.
Điều cần nhớ
Tổng hữu hạn Sₙ và tổng vô hạn S khác nhau. Kiểm |q|<1, xác định đúng số hạng bắt đầu; bài chuyển động cần đếm đúng lượt lên và xuống.
Đang học