Giới hạn hàm số tại một điểm

Xét gần điểm, chưa cần giá trị ngay tại điểm

Kí hiệu $\lim_{x\to a}f(x)=L$ nói rằng f(x) tiến gần L khi x tiến gần a, với x≠a. Theo định nghĩa, mọi dãy xₙ thuộc miền đang xét, xₙ≠a và xₙ→a đều phải cho f(xₙ)→L. Giới hạn có thể tồn tại dù f(a) chưa được định nghĩa. Giá trị tại đúng a sẽ được xét thêm khi học tính liên tục. Các quy tắc tổng, hiệu, tích của giới hạn hữu hạn giống dãy số. Quy tắc thương cần giới hạn mẫu khác 0; căn bậc hai cần biểu thức dưới căn không âm trong miền xét.

Khi thay trực tiếp là đủ

Tính giới hạn x²−3x+4 khi x→2. Các giới hạn của x và các lũy thừa cho phép thay x=2 trong đa thức, được 4−6+4=2. Với phân thức (x+1)/(x+2) khi x→1, mẫu tiến tới 3≠0, nên giới hạn bằng 2/3. Không cần phân tích nhân tử khi phép thay đã cho mẫu khác 0.

Đa thức tại một điểm

$\lim_{x\to2}(x^2+1)$ bằng

A2B5C0DKhông tồn tại

Dạng 0/0: biến đổi trước

Xét f(x)=(x²−1)/(x−1), xác định khi x≠1. Với x≠1, ta phân tích x²−1=(x−1)(x+1), rồi rút gọn f(x)=x+1.

Đường thẳng y=x+1 có điểm trống tại (1;2); giá trị hai phía tiến tới 2 dù hàm chưa xác định tại 1.

Vì vậy khi x→1, f(x)→2. Đồ thị trùng đường thẳng y=x+1 ngoài điểm (1;2), nhưng hàm ban đầu vẫn chưa có giá trị tại x=1. Không nói 0/0=2. Giá trị 2 là kết quả sau khi biến đổi biểu thức ở các điểm x≠1 rồi lấy giới hạn.

Nhân liên hợp khi có căn

Tính $\lim_{x\to0}(\sqrt{4+x}-2)/x$. Thay trực tiếp cho dạng 0/0. Nhân cả tử và mẫu với √(4+x)+2: $$\frac{\sqrt{4+x}-2}{x}=\frac{1}{\sqrt{4+x}+2}\quad(x\ne0).$$ Mẫu mới tiến tới 4, nên giới hạn bằng 1/4. Phép biến đổi hợp lệ trong một khoảng quanh 0, trừ điểm 0; đó là đủ cho giới hạn.

Khử nhân tử chung

Tính $\lim_{x\to3}(x^2-9)/(x-3)$.

AGiới hạn bằng 0 vì thay $x=3$ được $0/0$.BGiới hạn bằng 3 vì rút gọn còn $x$.CGiới hạn không tồn tại vì hàm không xác định tại 3.DVới x≠3, thương bằng x+3. Giới hạn là 6.

Phân thức có mẫu khác 0

Tính $\lim_{x\to0}(2x+3)/(x^2+1)$.

AMẫu tiến tới 1≠0, nên giới hạn 3.BGiới hạn bằng 0 vì mọi hạng chứa $x$ đều về 0.CGiới hạn bằng 2 vì lấy tỉ số hệ số của $x$.DGiới hạn không tồn tại vì tử và mẫu khác bậc.

Căn ở mẫu

Tính $\lim_{x\to1}(x-1)/(\sqrt{x}-1)$.

AGiới hạn bằng 0 vì tử tiến về 0.BVới x≠1 gần 1, x−1=(√x−1)(√x+1), nên thương bằng √x+1→2.CGiới hạn bằng 1 vì khử trực tiếp $x-1$ với $\sqrt x-1$.DGiới hạn không tồn tại vì mẫu bằng 0 tại 1.

Thay riêng giá trị tại điểm

Hàm f(x)=x+1 khi x≠1, còn f(1)=7. Giới hạn khi x→1 có bằng 7 không?

AGiới hạn bằng 7 vì giới hạn luôn bằng giá trị hàm tại điểm.BGiới hạn không tồn tại vì $f(1)$ khác công thức còn lại.CKhông. Giới hạn vẫn bằng 2 vì các giá trị với x≠1 tuân theo x+1. Giá trị f(1)=7 được xét riêng.DGiới hạn bằng 1 vì $x$ tiến tới 1.

Điều cần nhớ

Thử thay trực tiếp và kiểm mẫu. Gặp 0/0 thì phân tích hoặc nhân liên hợp; giữ rõ điểm bị loại và phân biệt giới hạn với giá trị hàm.