x đi xa, còn f(x) có thể gần một mức
Khi x→+∞, x tăng không giới hạn; khi x→−∞, x âm với độ lớn tăng không giới hạn. f(x) vẫn có thể tiến tới một số hữu hạn L.
Với k nguyên dương, 1/xᵏ→0 ở cả hai phía vô cực. Dãy hằng có giới hạn bằng chính hằng số. Khi các giới hạn hữu hạn tồn tại, ta dùng quy tắc tổng, hiệu, tích và thương với mẫu giới hạn khác 0.
Nếu f(x) tiến tới L ở một phía vô cực, đường y=L là tiệm cận ngang phía ấy; đây là kiến thức sẽ dùng khi đọc đồ thị.
Phân thức cùng bậc
Tính giới hạn (3x+1)/(x−2) khi x→+∞. Chia cả tử và mẫu cho x:
$$\frac{3x+1}{x-2}=\frac{3+1/x}{1-2/x}\to3.$$
Khi x→−∞, các phần 1/x và 2/x vẫn tiến tới 0, nên giới hạn cũng bằng 3. Kết quả hai phía giống nhau ở bài này vì tử và mẫu cùng bậc.
Tử bậc thấp hơn mẫu
$\lim_{x\to+\infty}(2x+1)/(x^2+1)$ bằng
Không lấy tỉ số 2/1 khi hai bậc khác nhau.
Các hằng số không phải phần chi phối.
Mẫu tăng nhanh hơn tử.
Đúng: tử mới về 0, mẫu mới về 1.
Lời giải
Thương thành $(2/x+1/x^2)/(1+1/x^2)\to0$.
Căn bậc hai tại âm vô cực
Tính giới hạn √(x²+4)/x khi x→−∞.
Ta có √(x²+4)=|x|√(1+4/x²). Với x<0, |x|=−x, nên thương bằng −√(1+4/x²), tiến tới −1.
Nếu x→+∞ thì |x|=x, giới hạn bằng 1. Bỏ dấu giá trị tuyệt đối sẽ làm sai một trong hai phía.
Khi kết quả không hữu hạn
Với đa thức, đặt lũy thừa bậc cao nhất ra ngoài để xét dấu. Chẳng hạn −2x³+x=x³(−2+1/x²): khi x→+∞, giới hạn −∞; khi x→−∞, giới hạn +∞.
Với phân thức tử bậc cao hơn mẫu, sau khi chia vẫn cần xét dấu và bậc còn lại. Không chỉ ghi “vô cực” mà bỏ dấu.
Hiệu chứa căn có thể cần nhân liên hợp, giống bài giới hạn dãy số. Hai phần cùng ra vô cực không cho phép trừ kí hiệu ∞ với ∞.
Hiệu căn ở dương vô cực
Giới hạn $\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{x^2+2x}-x)$ bằng
Không thể coi hiệu hai đại lượng cùng tiến tới $+\infty$ là $0$.
Mẫu sau khi chia cho $x$ tiến tới $2$, không phải $1$.
Đúng. Dùng liên hợp rồi chia tử và mẫu cho $x$.
Hai số hạng lớn có thể có hiệu hữu hạn; cần biến đổi trước khi lấy giới hạn.
Lời giải
Nhân với biểu thức liên hợp:
$$\sqrt{x^2+2x}-x=\frac{2x}{\sqrt{x^2+2x}+x}.$$
Khi $x\to+\infty$, có thể xét $x>0$. Chia tử và mẫu cho $x$:
$$\frac{2x}{\sqrt{x^2+2x}+x}=\frac{2}{\sqrt{1+2/x}+1}\longrightarrow1.$$
Chọn C.
Đa thức bậc chẵn
Giới hạn $\lim_{x\to-\infty}(x^2-5x)$ bằng
Đúng. Số hạng bậc cao nhất là $x^2$.
Khi $x$ âm có độ lớn tăng, cả $x^2$ và $-5x$ đều dương và tăng không giới hạn.
Biểu thức không tiến về $0$.
$-5$ chỉ là hệ số của $x$, không phải giới hạn.
Lời giải
Ta có $x^2-5x=x^2(1-5/x)$. Khi $x\to-\infty$, $x^2\to+\infty$ và $1-5/x\to1>0$, nên giới hạn bằng $+\infty$. Chọn A.
Giữ dấu của x
Giới hạn $\lim_{x\to-\infty}\dfrac{x^2}{x+1}$ bằng
Tử dương nhưng mẫu âm khi $x$ đủ âm, nên thương âm.
Tử có bậc lớn hơn mẫu nên thương không tiến về $0$.
Không được dùng tỉ số hệ số đầu khi tử và mẫu khác bậc.
Đúng. Sau khi chia cho $x$, mẫu tiến tới $1$ còn tử tiến tới $-\infty$.
Lời giải
Với $x\ne0$, viết $\dfrac{x^2}{x+1}=\dfrac{x}{1+1/x}$. Khi $x\to-\infty$, tử tiến tới $-\infty$, mẫu tiến tới $1>0$, nên thương tiến tới $-\infty$. Chọn D.
Mức tiến tới
Cho $f(x)=2+5/(x-1)$. Hai giới hạn khi $x\to\pm\infty$ và tiệm cận ngang của đồ thị là
$5$ là tử số của phân thức, không phải giới hạn của hàm.
Đúng. Phần phân thức tiến tới $0$, còn lại hằng số $2$.
Tiệm cận ngang có dạng $y=L$, không phải $x=L$.
Chưa cộng hằng số $2$.
Lời giải
Khi $x\to+\infty$ hoặc $x\to-\infty$, $5/(x-1)\to0$. Do đó cả hai giới hạn của $f(x)$ đều bằng $2$. Theo định nghĩa, đường thẳng $y=2$ là tiệm cận ngang. Chọn B.
Điều cần nhớ
Chia lũy thừa cao nhất và kiểm phần còn lại. Với căn √x², luôn bắt đầu từ |x| rồi mới dùng dấu của x theo phía đang xét.
Đang học