Tiến từ bên trái hay bên phải?
x→a⁻ nghĩa là x<a và tiến gần a; x→a⁺ nghĩa là x>a và tiến gần a. Dấu nhỏ ở phía trên mô tả **phía của x**, không quyết định ngay dấu của f(x).
Giới hạn hai phía bằng L khi và chỉ khi cả giới hạn trái và phải cùng bằng L. Nếu chúng khác nhau thì không có giới hạn hai phía. Với hàm cho từng nhánh, chọn công thức theo phía của x trước khi tính.
Hai nhánh có giới hạn khác nhau
Cho f(x)=x+1 khi x<1, và f(x)=x+2 khi x≥1.
Khi x→1⁻, dùng x+1 nên giới hạn bằng 2. Khi x→1⁺, dùng x+2 nên giới hạn bằng 3. Hai phía khác nhau, vậy giới hạn khi x→1 không tồn tại.
Giá trị f(1)=3 không sửa được sự khác nhau giữa hai phía; giới hạn một phía chỉ xét các điểm gần 1 ở phía tương ứng.
Phía của x và dấu của mẫu
Khi x→2⁺ thì x−2
Âm là khi tiến từ bên trái.
Đúng: đây là 0⁺.
Trong quá trình lấy giới hạn, x≠2.
Khoảng cách đang giảm về 0.
Lời giải
x−2>0 và x−2→0.
Mẫu gần 0: xét cả độ lớn và dấu
Nếu tử tiến tới một số dương khác 0, còn mẫu dương tiến tới 0 thì thương →+∞; mẫu âm tiến tới 0 thì thương →−∞. Nếu tử tiến tới một số âm khác 0, dấu kết quả đảo lại.
Ví dụ 1/(x−2) có giới hạn phải tại 2 bằng +∞, giới hạn trái bằng −∞. Không có giới hạn hai phía tại 2. Đường x=2 là tiệm cận đứng.
Không viết 1/0. Mẫu vẫn khác 0 tại các điểm đang xét; ta chỉ mô tả thương lớn không giới hạn khi mẫu gần 0.
Mẫu bình phương và tử âm
Tính giới hạn −3/(x−1)² khi x→1. Với x≠1, mẫu luôn dương và tiến tới 0, còn tử bằng −3<0.
Vì vậy cả hai phía đều cho −∞, nên giới hạn hai phía bằng −∞. Đây là giới hạn vô cực, không phải giới hạn hữu hạn.
Khác với mẫu x−1, mẫu bình phương không đổi dấu khi đi qua 1.
Đổi dấu của mẫu
Giới hạn $\lim_{x\to1^+}\dfrac1{1-x}$ bằng
Cần xét dấu mẫu: ở phía phải của $1$, mẫu âm.
Đúng. Mẫu âm và tiến tới $0$.
Mẫu tiến tới $0$ không làm nghịch đảo tiến tới $0$.
Không thể thay $x=1$ vì mẫu bằng $0$.
Lời giải
Khi $x\to1^+$, ta có $x>1$, nên $1-x<0$ và $1-x\to0$. Tử bằng $1>0$, do đó thương tiến tới $-\infty$. Chọn B.
Giá trị tuyệt đối
Giới hạn trái và giới hạn phải của $|x|/x$ tại $0$ lần lượt bằng
Ở phía trái, $|x|=-x$.
Ở phía phải, $|x|=x$.
Đúng. Hai giới hạn một phía khác nhau.
Hai phía đã bị đổi chỗ.
Lời giải
Với $x<0$, $|x|=-x$ nên $|x|/x=-1$. Với $x>0$, $|x|=x$ nên thương bằng $1$. Vì hai giới hạn một phía khác nhau, giới hạn hai phía tại $0$ không tồn tại. Chọn C.
Hai phía cùng về 0
Cho $f(x)=-x$ khi $x<0$ và $f(x)=\sqrt{x}$ khi $x\ge0$. Giới hạn của $f(x)$ khi $x\to0$ bằng
Đúng. Hai giới hạn một phía bằng nhau.
Cả hai biểu thức đều tiến tới $0$, không phải $1$.
Không nhánh nào tăng không giới hạn khi $x$ gần $0$.
Hai công thức khác nhau vẫn có thể cho cùng giới hạn tại điểm nối.
Lời giải
Khi $x\to0^-$, $f(x)=-x\to0$. Khi $x\to0^+$, $f(x)=\sqrt{x}\to0$. Hai giới hạn một phía cùng bằng $0$, nên $\lim_{x\to0}f(x)=0$. Chọn A.
Chỉ có phía phù hợp miền xác định
Giới hạn $\lim_{x\to2^-}\dfrac1{\sqrt{2-x}}$ bằng
Nghịch đảo của một số dương tiến tới $0$ tăng không giới hạn.
Mẫu dương nên thương dương.
Không thể thay $x=2$ vì mẫu bằng $0$.
Đúng. Mẫu dương và tiến tới $0$.
Lời giải
Với $x<2$, $2-x>0$. Khi $x\to2^-$, mẫu $\sqrt{2-x}$ dương và tiến tới $0$, nên thương tiến tới $+\infty$. Không xét cùng công thức từ phía $x>2$ trong số thực vì khi đó biểu thức dưới căn âm. Chọn D.
Điều cần nhớ
Chọn nhánh theo phía, rồi xét dấu biểu thức. Hai giới hạn một phía chỉ ghép thành giới hạn hai phía khi cùng kết quả.
Đang học