Ba điều cần khớp tại một điểm
Tại điểm a nằm bên trong khoảng đang xét, f liên tục khi có f(a), có giới hạn hữu hạn khi x→a, và giới hạn ấy bằng f(a):
$$\lim_{x\to a}f(x)=f(a).$$
Với hàm nhiều nhánh, ta thường tính riêng giới hạn trái, giới hạn phải và giá trị tại điểm, rồi so sánh cả ba. Chỉ có f(a) chưa đủ; chỉ có giới hạn cũng chưa đủ.
Bổ sung giá trị ở điểm khuyết
Cho f(x)=(x²−4)/(x−2) khi x≠2 và f(2)=m. Tìm m để liên tục tại 2.
Với x≠2, thương bằng x+2, nên giới hạn khi x→2 bằng 4. Muốn bằng f(2)=m, ta cần m=4.
Nếu m=1, hai phía vẫn tiến tới 4 nhưng giá trị tại điểm là 1 nên hàm gián đoạn. Chọn m=4 lấp đúng điểm khuyết.
Giá trị hàm không nhất thiết dương
f(x)=x²−3x+1 có liên tục tại x=2 không?
Giá trị âm không làm mất liên tục.
Công thức đa thức đã đủ.
Đúng: giới hạn bằng giá trị hàm.
Không có yêu cầu điểm xét phải bằng 0.
Lời giải
Đa thức liên tục trên R; tại 2, giới hạn bằng f(2)=−1.
Nối hai công thức
Cho f(x)=x² khi x≤1 và f(x)=2x+m khi x>1. Tìm m để liên tục tại 1.
Từ bên trái, x²→1 và f(1)=1. Từ bên phải, 2x+m→2+m. Muốn hai phía cùng bằng f(1), cần 2+m=1, suy ra m=−1.
Với m=−1, các nhánh đều là đa thức trên phần của mình và nối liên tục tại 1, nên hàm liên tục trên R.
Liên tục không đồng nghĩa có đạo hàm
Hàm |x| liên tục tại 0 vì hai phía đều tiến tới 0=f(0). Tuy nhiên đồ thị có góc tại đó và hàm không có đạo hàm tại 0: tỉ số |h|/h cho −1 bên trái, 1 bên phải.
Có đạo hàm tại một điểm thì liên tục tại điểm ấy, nhưng chiều ngược lại không luôn đúng. Khi đề chỉ hỏi liên tục, ta so sánh giá trị và giới hạn, không tự đặt thêm điều kiện đạo hàm hai bên bằng nhau.
Hai phía đã khác thì sửa một điểm không đủ
Cho $f(x)=0$ khi $x<0$, $f(x)=1$ khi $x>0$ và $f(0)=m$. Giá trị nào của $m$ làm hàm liên tục tại $0$?
Chỉ khớp giới hạn trái, chưa khớp giới hạn phải.
Chỉ khớp giới hạn phải, chưa khớp giới hạn trái.
Lấy trung bình hai giới hạn không tạo ra tính liên tục.
Đúng. Cần có giới hạn hai phía trước khi so sánh với $f(0)$.
Lời giải
Giới hạn trái tại $0$ bằng $0$, giới hạn phải bằng $1$. Hai giá trị khác nhau nên giới hạn hai phía không tồn tại. Thay đổi $f(0)=m$ không làm hai giới hạn ấy bằng nhau. Vì vậy không có giá trị nào của $m$ thỏa mãn. Chọn D.
Điền giá trị tại 1
Với $x\ne1$, cho $f(x)=\dfrac{x^3-1}{x-1}$. Cần đặt $f(1)$ bằng bao nhiêu để hàm liên tục tại $1$?
Dạng $0/0$ không cho giới hạn bằng $0$; cần rút gọn.
Sau rút gọn, thay $x=1$ vào cả ba hạng tử.
Đúng. Giá trị tại điểm phải bằng giới hạn.
Giới hạn hữu hạn tồn tại nên có thể bổ sung giá trị tại điểm.
Lời giải
Với $x\ne1$, phân tích $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ rồi rút gọn được $f(x)=x^2+x+1$. Vì vậy $\lim_{x\to1}f(x)=3$. Để liên tục tại $1$, cần đặt $f(1)=3$. Chọn C.
Một nhánh có căn
Với $x\ne0$ gần $0$, cho $f(x)=\dfrac{\sqrt{x+4}-2}{x}$ và $f(0)=m$. Để hàm liên tục tại $0$, cần chọn
Đúng. Dùng liên hợp để rút gọn trước khi tính giới hạn.
Mẫu sau rút gọn tiến tới $2+2=4$, không phải $2$.
Dạng $0/0$ không có nghĩa là giới hạn bằng $0$.
Cần lấy nghịch đảo của giá trị mẫu sau rút gọn.
Lời giải
Với $x\ne0$ gần $0$, nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp:
$$f(x)=\frac{x}{x(\sqrt{x+4}+2)}=\frac1{\sqrt{x+4}+2}.$$
Do đó $\lim_{x\to0}f(x)=1/(2+2)=1/4$. Tính liên tục đòi hỏi $f(0)$ bằng giới hạn này, nên $m=1/4$. Chọn A.
Giới hạn vô cực không cho liên tục
Cho $f(x)=1/x^2$ khi $x\ne0$ và $f(0)=0$. Kết luận nào đúng?
Có giá trị tại điểm là điều kiện cần nhưng chưa đủ để liên tục.
Đúng. Giới hạn không bằng giá trị tại điểm.
Nghịch đảo của $x^2$ tăng không giới hạn, không tiến về $0$.
Giới hạn vô cực không thể bằng một giá trị thực gán tại điểm.
Lời giải
Khi $x\to0$, $x^2>0$ và tiến tới $0$, nên $1/x^2\to+\infty$. Giới hạn không phải số hữu hạn $f(0)=0$, vì vậy hàm không liên tục tại $0$. Không một giá trị thực nào gán cho $f(0)$ khắc phục được điều này. Chọn B.
Điều cần nhớ
Xét giá trị tại điểm, giới hạn trái và phải. Muốn nối liên tục, cả ba phải bằng nhau; thay một giá trị không sửa được hai nhánh có giới hạn khác nhau.
Đang học