Liên tục trên cả một miền
Hàm liên tục trên (a;b) khi liên tục tại mọi điểm trong khoảng. Liên tục trên [a;b] còn cần giới hạn phải tại a bằng f(a) và giới hạn trái tại b bằng f(b).
Đa thức, sin x và cos x liên tục trên R. Hàm phân thức hữu tỉ, tan x, cot x và căn bậc hai liên tục trên tập xác định của chúng. Tổng, hiệu, tích của các hàm liên tục vẫn liên tục; thương cần mẫu khác 0.
Hãy tìm miền xác định trước. “Liên tục trên tập xác định” không có nghĩa là liên tục xuyên qua điểm bị loại.
Phân thức và đầu đoạn
Hàm (x+1)/(x−2) liên tục trên hai khoảng (−∞;2) và (2;+∞). Không kết luận liên tục trên [1;3], vì x=2 thuộc đoạn nhưng hàm không xác định tại đó.
Hàm √x liên tục trên [0;4]. Ở đầu 0, chỉ cần xét phía phải: √x→0=f(0). Không yêu cầu hàm có giá trị ở x<0 để xét liên tục trên đoạn này.
Miền của đa thức
Tập lớn nhất trong các phương án mà đa thức 2x³−x+4 liên tục là
Đúng trên khoảng này nhưng chưa phải tập lớn nhất.
Không cần loại 0.
Đây chỉ là một đoạn con.
Đúng: toàn bộ tập số thực.
Lời giải
Đa thức liên tục trên toàn bộ R.
Hai đầu trái dấu và không bị đứt ở giữa
Nếu f liên tục trên [a;b] và f(a)f(b)<0, phương trình f(x)=0 có **ít nhất một nghiệm** trong (a;b).
Đồ thị liên tục đi từ phía dưới sang phía trên trục hoành, hoặc ngược lại, phải đi qua trục ở giữa. Điều kiện trái dấu bảo đảm có nghiệm, chưa nói nghiệm là duy nhất và chưa tìm giá trị chính xác.
Nếu f(a) hoặc f(b) bằng 0 thì đã có nghiệm tại đầu đoạn, nhưng chưa thể dùng dấu bằng ấy để kết luận có nghiệm bên trong.
Chứng minh có nghiệm mà chưa giải phương trình
Xét phương trình x³+x−1=0. Đặt f(x)=x³+x−1, là đa thức nên liên tục trên [0;1].
![Đồ thị y=x³+x−1 trên [0;1] đi từ giá trị −1 đến 1 và cắt trục hoành tại một điểm ở giữa.](/static/runtime/learning/K08_root-review20261008.659b31c0dd75.png)
Ta có f(0)=−1<0 và f(1)=1>0. Hai đầu trái dấu, nên phương trình có ít nhất một nghiệm trong (0;1).
Muốn kết luận duy nhất, cần thêm lập luận, chẳng hạn f′(x)=3x²+1>0 nên f tăng nghiêm ngặt. Phần tồn tại đã được chứng minh bằng tính liên tục; đạo hàm là bước bổ sung khi đề hỏi số nghiệm.
Tìm một khoảng có nghiệm
Đặt $f(x)=x^3-x-1$. Lập luận nào đủ để kết luận $f(x)=0$ có ít nhất một nghiệm trong $(1;2)$?
Đúng. Cần tính liên tục trên cả đoạn và hai giá trị đầu mút trái dấu.
Hai giá trị khác nhau chưa bảo đảm đồ thị đi qua trục hoành.
Một đầu âm chưa bảo đảm có nghiệm trong khoảng.
Đa thức không nhất thiết có nghiệm trong một khoảng bất kì.
Lời giải
$f$ là đa thức nên liên tục trên $[1;2]$. Ta có $f(1)=-1$, $f(2)=5$, do đó $f(1)f(2)=-5<0$. Theo định lí về sự tồn tại nghiệm, phương trình có ít nhất một nghiệm trong $(1;2)$. Chọn A.
Thiếu liên tục thì không được kết luận
Với $f(x)=1/x$, ta có $f(-1)<0<f(1)$. Vì sao không thể dùng định lí về sự tồn tại nghiệm trên $[-1;1]$?
Hàm phân thức liên tục tại $-1$ vì mẫu khác $0$.
Điều kiện dấu của định lí là hai đầu trái dấu.
Đúng. Không được bỏ qua điều kiện liên tục trên cả đoạn.
Định lí áp dụng cho mọi hàm liên tục trên đoạn thỏa điều kiện dấu.
Lời giải
Hàm $1/x$ không xác định tại $0\in[-1;1]$, nên không liên tục trên đoạn này. Điều kiện liên tục của định lí không được thỏa mãn. Thực tế $1/x\ne0$ tại mọi điểm thuộc tập xác định. Chọn C.
Cùng dấu vẫn có thể có nghiệm
Hàm $f(x)=x^2$ trên $[-1;1]$ có $f(-1)=f(1)=1$. Nhận xét nào đúng?
Điều kiện đủ không được đảo thành điều kiện cần.
Đúng. $x=0$ là phản ví dụ cho kết luận hai đầu cùng dấu thì vô nghiệm.
Với $x\ne0$, $x^2>0$, không bằng $0$.
Đa thức $x^2$ liên tục tại mọi số thực.
Lời giải
$f(0)=0$ nên phương trình có nghiệm $x=0$ trong $(-1;1)$, dù hai đầu cùng dấu. Điều kiện hai đầu trái dấu bảo đảm có nghiệm khi hàm liên tục, nhưng khi không thỏa điều kiện ấy thì chưa thể kết luận vô nghiệm. Chọn B.
Một điểm nối trên cả đoạn
Cho $f(x)=x$ khi $0\le x\le1$ và $f(x)=2-x$ khi $1<x\le2$. Kết luận nào đúng?
Hai công thức vẫn có thể nối liên tục nếu các giới hạn và giá trị tại điểm bằng nhau.
Nhánh thứ hai cũng liên tục và hai nhánh nối khớp tại $1$.
Liên tục trên đoạn chỉ yêu cầu giới hạn phải ở đầu trái.
Đúng. Kiểm từng nhánh, điểm nối và hai đầu đoạn.
Lời giải
Mỗi nhánh là đa thức nên liên tục trên khoảng của nó. Tại $1$, giới hạn trái và phải đều bằng $1=f(1)$. Ở đầu $0$, giới hạn phải bằng $0=f(0)$; ở đầu $2$, giới hạn trái bằng $0=f(2)$. Vậy hàm liên tục trên $[0;2]$. Chọn D.
Điều cần nhớ
Xét đủ miền và các điểm nối, đầu đoạn. Muốn dùng dấu hai đầu để chứng minh có nghiệm, phải có liên tục trên toàn đoạn; kết luận mặc định là ít nhất một nghiệm.
Đang học