Ghép đầu với cuối
Gọi Sₙ=u₁+u₂+⋯+uₙ. Viết tổng một lần theo thứ tự xuôi, một lần theo thứ tự ngược rồi cộng hai hàng. Mỗi cặp có tổng u₁+uₙ, và có n cặp, nên 2Sₙ=n(u₁+uₙ).
Ta có hai dạng tương đương:
$$S_n=\frac n2(u_1+u_n),\qquad S_n=\frac n2[2u_1+(n-1)d].$$
Dạng đầu tiện khi biết hai đầu; dạng sau tiện khi biết u₁,d. Lập luận đúng cả khi n lẻ. Sₙ là tổng n số hạng, không phải số hạng uₙ.
Tổng mười số hạng
Cấp số cộng có u₁=2,d=3. Tính S₁₀.
Trước hết u₁₀=2+9·3=29. Vì vậy S₁₀=10(2+29)/2=155. Có thể tính trực tiếp $S_{10}=5[4+9\cdot3]=155$.
Hai cách cùng kết quả, nhưng không lấy 10·29 vì các số hạng trước không đều bằng số hạng cuối.
Phân biệt tổng và số hạng
Một cấp số cộng có u₁=1,u₅=9. Tổng năm số hạng đầu là
9 chỉ là số hạng cuối.
10 là tổng hai đầu, chưa phải tổng cả dãy.
Đúng: 5 lần trung bình hai đầu.
Các số hạng không đều bằng 9.
Lời giải
S₅=5(1+9)/2=25.
Tìm số số hạng từ tổng
Cấp số cộng 1,3,5,… có tổng n số hạng đầu bằng 100. Tìm n.
Số hạng cuối uₙ=2n−1. Công thức tổng cho $S_n=n[1+(2n-1)]/2=n^2$. Do đó n²=100.
n là số nguyên dương đếm số hạng, nên n=10; loại −10. Với n=10, tổng từ 1 đến 19 theo các số lẻ đúng bằng 100.
Tổng một đoạn ở giữa dãy
Muốn cộng từ uₚ đến u_q, với 1≤p≤q, có q−p+1 số hạng. Đoạn này vẫn là cấp số cộng, nên tổng bằng $(q-p+1)(u_p+u_q)/2$.
Cũng có thể lấy S_q−Sₚ₋₁; quy ước S₀=0. Nếu biết các tổng và muốn tìm riêng uₙ, dùng uₙ=Sₙ−Sₙ₋₁ khi n≥2, còn u₁=S₁.
Tổng đoạn giữa
Cấp số cộng uₙ=2n+1. Tính tổng từ u₃ đến u₇.
Số số hạng từ chỉ số 3 đến 7 là $7-3+1=5$.
Đây chỉ là trung bình hai đầu; còn phải nhân với số số hạng.
Tổng đoạn gồm cả các số hạng ở giữa, không chỉ hai đầu.
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Lời giải
Có 7−3+1=5 số hạng; u₃=7,u₇=15. Tổng 5(7+15)/2=55.
Tổng khi công sai bằng 0
Mỗi số hạng đều bằng 4. Tính tổng 12 số hạng đầu.
Tổng vẫn gồm 12 số hạng, mỗi số hạng bằng 4.
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Tổng của 12 số 4 phải dùng phép nhân $12\cdot4$.
Cộng 12 số hạng giống nhau không phải lấy lũy thừa.
Lời giải
S₁₂=12·4=48, cũng đúng theo công thức hai đầu.
Từ tổng ra số hạng
Biết S₄=20 và S₅=30. Tìm u₅.
Số hạng mới là phần tăng thêm của tổng, nên phải lấy hiệu.
Trung bình năm số hạng không nhất thiết bằng số hạng thứ năm.
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Phép trừ đúng nhưng $30-20=10$, không phải 5.
Lời giải
u₅=S₅−S₄=10.
Tổng dãy giảm
Tính tổng cấp số cộng hữu hạn 10,8,6,4,2.
Công thức tổng dùng tổng của số đầu và số cuối, không dùng hiệu.
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Đây là trung bình cộng; cần nhân thêm 5 số hạng.
Còn ba số hạng ở giữa chưa được cộng.
Lời giải
Có 5 số hạng, đầu 10, cuối 2. Tổng 5(10+2)/2=30.
Điều cần nhớ
Đề hỏi một số hạng thì dùng uₙ, hỏi cộng nhiều số hạng thì dùng Sₙ. Đếm số hạng đúng, nhất là khi tổng bắt đầu từ một vị trí ở giữa.
Đang học