Mỗi lần nhân cùng một số
Cấp số nhân thỏa uₙ₊₁=q·uₙ, với q không đổi gọi là công bội. Khi số hạng trước khác 0, ta có thể tìm q bằng “sau chia trước”. Nếu có số 0, dùng trực tiếp quan hệ nhân để kiểm, không chia cho 0.
Từ u₁ đến uₙ có n−1 lần nhân q, nên với n≥2:
$$u_n=u_1q^{n-1}.$$
Nếu q≠0, công thức cũng đúng tại n=1. Khi q=0, dãy là u₁,0,0,…; tránh viết 0⁰ ở số hạng đầu. Công bội có thể âm: các số hạng khác 0 sẽ đổi dấu luân phiên.
Nhận công bội rồi tính
Dãy được cho là cấp số nhân bắt đầu 2,6,18,54,… Các tỉ số sau chia trước đều bằng 3, nên q=3 và u₁=2.
Số hạng thứ n là $u_n=2\cdot3^{n-1}$. Do đó u₅=2·3⁴=162. Không dùng số mũ 5 vì từ số hạng đầu đến số hạng thứ năm chỉ có 4 lần nhân.
Công bội âm
Cấp số nhân 8,−4,2,−1 có công bội
Độ lớn số hạng đang giảm, không nhân 2.
Nhân −2 sẽ cho số hạng thứ hai −16.
Thiếu dấu âm làm đổi dấu luân phiên.
Đúng: mỗi bước nhân −1/2.
Lời giải
q=−4/8=−1/2; các bước sau cũng nhân −1/2.
Có hai khả năng của công bội
Cấp số nhân có u₁=2,u₃=18. Tìm q và u₂.
Từ u₃=u₁q², ta có 18=2q² nên q²=9. Có hai khả năng q=3 hoặc q=−3. Khi đó u₂ lần lượt bằng 6 hoặc −6.
Nếu đề thêm rằng mọi số hạng dương thì chỉ nhận q=3. Khi chưa có điều kiện ấy, không được tự bỏ công bội âm.
Ba số hạng liên tiếp
Nếu a,b,c là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân thì b²=ac. Với các số khác 0, hệ thức này cũng giúp kiểm tỉ số b/a=c/b.
Nếu có số 0, riêng b²=ac chưa luôn đủ kết luận: chẳng hạn 0,0,1 thỏa b²=ac nhưng không có q làm 1=q·0. Hãy quay về định nghĩa nhân khi gặp trường hợp này.
Chứng minh bằng tỉ số
Cho uₙ=5·2ⁿ, n≥1. Tìm u₁,q và chứng minh là cấp số nhân.
Vì chỉ số bắt đầu từ 1 nên $u_1=5\cdot2^1=10$.
Công bội là tỉ số hai số hạng liên tiếp; hệ số 5 triệt tiêu.
Hiệu không cố định, còn tỉ số liên tiếp luôn bằng 2.
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Lời giải
u₁=10. Vì uₙ≠0, tỉ số uₙ₊₁/uₙ=2 với mọi n, nên là cấp số nhân q=2.
Tính số hạng với công bội âm
u₁=3,q=−2. Tính u₄.
Công thức $u_n=u_1q^{n-1}$ dùng số mũ 3 khi $n=4$.
Đây là cách tính cấp số cộng; bài cho cấp số nhân.
Lũy thừa bậc lẻ của $-2$ vẫn âm.
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Lời giải
u₄=3(−2)³=−24.
Nhận trường hợp q=0
Dãy 5,0,0,0,… có phải cấp số nhân không?
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Định nghĩa $u_{n+1}=qu_n$ vẫn đúng với $q=0$; không bắt buộc dùng tỉ số khi mẫu bằng 0.
Cấp số nhân có thể có công bội 0; từ số hạng thứ hai trở đi đều bằng 0.
Nhân 5 với 1 vẫn bằng 5, không cho số hạng thứ hai bằng 0.
Lời giải
Có, với q=0: mỗi số hạng từ thứ hai bằng số hạng trước nhân 0.
Tìm chỉ số
Cấp số nhân u₁=2,q=3. Số 162 là số hạng thứ mấy?
Số mũ 4 bằng $n-1$, nên chỉ số phải là 5.
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Từ $n-1=4$ suy ra trực tiếp $n=5$.
Sau khi chia cho $u_1=2$, được $81=3^4$.
Lời giải
2·3ⁿ⁻¹=162 cho 3ⁿ⁻¹=81=3⁴. Vậy n=5.
Điều cần nhớ
Cấp số nhân có hệ số nhân không đổi. Giữ dấu của q và n−1 lần nhân; chỉ tìm q bằng phép chia khi mẫu khác 0.
Đang học