Tốc độ thay đổi và chuyển động

Một vật có tọa độ $s(t)=t^3-6t^2+9t$ mét trên 0≤t≤4 giây. Ta có $v(t)=3t^2-12t+9=3(t-1)(t-3)$ và a(t)=6t−12. Vật đi theo chiều dương trên (0;1),(3;4), theo chiều âm trên (1;3). Tại t=1,3 vận tốc bằng 0 và đổi dấu, nên vật đổi chiều. Các vị trí: s(0)=0, s(1)=4, s(3)=0, s(4)=4. Độ dịch chuyển là s(4)−s(0)=4 m. Quãng đường phải cộng độ dài từng chặng: $$|4-0|+|0-4|+|4-0|=12\text{ m}.$$ Chưa cần tích phân vì đã biết hàm vị trí và các thời điểm đổi chiều. Không lấy độ dịch chuyển thay cho quãng đường.

Trong một mô hình toán học, số lượng được cho bởi $P(t)=100/(1+4e^{-t})$, t≥0 giờ. Ký hiệu e là cơ số của hàm mũ tự nhiên. Để tính đạo hàm ở đây, dùng quy tắc $(e^{u(t)})'=u'(t)e^{u(t)}$, nên $(e^{-t})'=-e^{-t}$. Dùng đạo hàm thương: $$P'(t)=\frac{400e^{-t}}{(1+4e^{-t})^2}>0.$$ Ban đầu P(0)=20, còn P′(0)=400/25=16 đơn vị/giờ. Một số là lượng hiện có, số kia là tốc độ tăng lúc đầu. Khi t→+∞, e⁻ᵗ→0 nên P→100. Với mọi t hữu hạn, mẫu lớn hơn 1 nên P<100. Theo mô hình, lượng tăng dần và tiến gần 100, không đạt 100 tại thời điểm hữu hạn. Không biến kết luận của mô hình thành khẳng định cho mọi tình huống thực tế.