Lập mô hình cho bài toán tối ưu

Một mảnh đất hình chữ nhật tựa vào tường, chỉ rào ba cạnh với tổng chiều dài 60 m. Tìm kích thước cho diện tích lớn nhất.

Gọi x là cạnh vuông góc tường, y là cạnh dọc tường. Có hai cạnh dài x cần rào, nên 2x+y=60. Suy ra y=60−2x và 0<x<30. Diện tích A(x)=x(60−2x). Đạo hàm A′=60−4x, dương trước 15, âm sau 15. Vậy A tăng rồi giảm, đạt lớn nhất tại x=15. Khi đó y=30 và diện tích 450 m². Nếu viết 2x+2y=60, ta đã tính cả cạnh sát tường không cần rào, nên mô hình không đúng đề.

A cách bờ thẳng một khoảng 3 km; C là chân đường vuông góc từ A xuống bờ. B ở trên bờ, cách C 4 km. Một người chèo từ A đến D trên đoạn CB rồi chạy từ D đến B. Vận tốc chèo 3 km/h, chạy 5 km/h; bỏ qua dòng nước.

Gọi x=CD, 0≤x≤4. Theo định lí Pythagore, AD=√(9+x²), còn DB=4−x. Thời gian tính bằng quãng đường chia vận tốc: $$T(x)=\frac{\sqrt{9+x^2}}3+\frac{4-x}5.$$ Dùng $(\sqrt{u})'=u'/(2\sqrt{u})$ khi u>0: $$T'(x)=\frac{x}{3\sqrt{9+x^2}}-\frac15.$$ T′=0 tương đương 5x=3√(9+x²). Hai vế không âm, bình phương được 25x²=81+9x², nên x=9/4. Biểu thức x/√(9+x²) tăng trên [0;4] vì đạo hàm của nó là $9/(9+x^2)^{3/2}>0$. Do đó T′ âm trước 9/4, dương sau; T đạt nhỏ nhất tại x=2,25 km. Khi đó AD=3,75 km, DB=1,75 km; T=3,75/3+1,75/5=1,6 giờ. Đích cần chọn là D cách C 2,25 km về phía B.