Doanh thu, chi phí và lợi nhuận

Ba đại lượng không dùng thay nhau

Doanh thu là tiền bán được; lợi nhuận còn phải trừ chi phí. Chi phí trung bình là chi phí tính cho một đơn vị sản phẩm. Cùng dữ kiện, ba câu hỏi này dẫn đến các hàm khác nhau.

Công thức và ý nghĩa

Nếu bán x đơn vị với giá p(x) cho mỗi đơn vị, doanh thu R(x)=x·p(x). Tổng chi phí C(x) cho lợi nhuận P(x)=R(x)−C(x). Chi phí trung bình $\overline C(x)=C(x)/x$ chỉ xét khi x>0. Chi phí biên C′(x) là tốc độ thay đổi của tổng chi phí theo sản lượng; thường dùng xấp xỉ chi phí tăng thêm khi sản xuất một đơn vị, không phải luôn bằng đúng C(x+1)−C(x). Luôn thống nhất đơn vị tiền trước khi cộng/trừ. Nếu biến là số sản phẩm, cuối cùng phải kiểm phương án nguyên và giới hạn công suất.

Ví dụ 1 — Từ giá bán đến lợi nhuận

Một mô hình cho giá bán p(x)=100−x nghìn đồng/sản phẩm và chi phí C(x)=20x+100 nghìn đồng, với x nguyên từ 1 đến 60. Tìm sản lượng cho lợi nhuận lớn nhất. R(x)=x(100−x), nên P(x)=−x²+80x−100. Tạm xét x thực trên [1;60]: P′=80−2x dương trước 40, âm sau 40. Giá trị lớn nhất đạt tại x=40, cũng là số nguyên hợp lệ. P(40)=−1600+3200−100=1500 nghìn đồng. Giá bán khi đó p(40)=60 nghìn đồng/sản phẩm. Nếu chỉ tối ưu doanh thu, R′=100−2x cho x=50, khác phương án lợi nhuận. Vì vậy phải đọc đúng điều đề yêu cầu.

Thử: chọn đúng hàm

Nếu R(x)=50x−x² và C(x)=10x+20 cùng tính bằng nghìn đồng, hàm lợi nhuận là gì?

A$50x-x^2$B$-x^2+40x-20$C$-x^2+60x+20$D$C(x)/x$

Ví dụ 2 — Chi phí trung bình

Mô hình tổng chi phí C(x)=x²+10x+100 nghìn đồng, với 1≤x≤30. Tìm x để chi phí trung bình nhỏ nhất. $$\overline C(x)=x+10+100/x.$$ Đạo hàm $\overline C'(x)=1-100/x^2$ bằng 0 tại x=10 trong miền; âm trước 10, dương sau 10. Chi phí trung bình nhỏ nhất là $\overline C(10)=30$ nghìn đồng/sản phẩm. Trong khi đó C′=2x+10>0: tổng chi phí tăng theo x, nhưng chi phí trung bình ban đầu giảm. Hai kết luận không mâu thuẫn vì đó là hai đại lượng khác nhau. C′(10)=30 nghìn đồng/sản phẩm, còn C(11)−C(10)=31 nghìn đồng. Đây cũng cho thấy chi phí biên là xấp xỉ, không luôn bằng đúng chi phí của đơn vị kế tiếp.

Thử: đỉnh không nguyên

Mô hình lợi nhuận $P(n)=-(n-3{,}4)^2+10$ triệu đồng, n nguyên từ 1 đến 6. Chọn n nào?

AChọn $n=3{,}4$ vì đó là đỉnh của parabol.BChọn $n=4$ vì làm tròn $3{,}4$ đến số nguyên gần nhất.CParabol tăng đến 3,4 rồi giảm. Trong các số nguyên chỉ cần so sánh 3 và 4: P(3)=9,84; P(4)=9,64. Chọn n=3. Các số nguyên xa đỉnh hơn cho giá trị nhỏ hơn.DChọn $n=3$ vì $P(3)=10$ triệu đồng.

Bài luyện 1

P(x)=−x²+40x−20 trên [0;30]. Tìm lợi nhuận lớn nhất và nơi đạt được.

AP′=40−2x đổi + sang − tại 20. Pmax=P(20)=380 tại x=20. Nếu P tính bằng nghìn đồng thì kết quả là 380 nghìn đồng.BLợi nhuận lớn nhất là $20$ tại $x=380$.CĐỉnh tại $x=40$, nên lợi nhuận lớn nhất là $P(40)$.DLợi nhuận lớn nhất là $380$ đồng tại $x=20$.

Bài luyện 2

C(x)=2x²+8x+128 nghìn đồng, 1≤x≤20. Tìm chi phí trung bình nhỏ nhất.

ATối thiểu hóa trực tiếp $C(x)$ cho nghiệm ngoài miền âm, nên chọn $x=1$.BC̄=2x+8+128/x; C̄′=2−128/x² đổi từ âm sang dương tại x=8. C̄min=16+8+16=40 nghìn đồng/sản phẩm.C$\overline C'=2+128/x^2>0$, nên nhỏ nhất tại $x=1$.DChi phí trung bình nhỏ nhất là $8$ nghìn đồng/sản phẩm tại $x=40$.

Bài luyện 3

Vẫn lợi nhuận P=−x²+80x−100 ở ví dụ 1, nhưng công suất chỉ cho x nguyên từ 1 đến 30. Chọn x nào?

AChọn $x=40$ vì đó là đỉnh của parabol lợi nhuận.BChọn $x=1$ vì parabol có hệ số đầu âm nên hàm giảm.CChọn $x=30$ nhưng lợi nhuận là $P(30)=2300$ nghìn đồng.DP′=80−2x>0 trên [1;30], nên P tăng trên đoạn. Chọn x=30, P(30)=1400 nghìn đồng. Đỉnh 40 ngoài công suất nên không được chọn.

Những điều cần nhớ

Lập đúng R, C, P hoặc C̄ trước khi tính đạo hàm. Kiểm miền công suất, số nguyên và đơn vị. Mô hình trong bài dùng để giải bài toán theo dữ kiện, không phải dự báo lợi nhuận thực của một hoạt động kinh doanh.