Giữ lại một biến
Trong bài hình học, thể tích hoặc chu vi thường cho quan hệ giữa các kích thước. Ta dùng quan hệ đó để viết đại lượng cần tối ưu theo một biến. Trước khi tính, hãy xác định vật có nắp hay không: điều này làm thay đổi diện tích vật liệu.
Ví dụ 1 — Hộp không nắp
Một hộp không nắp có đáy vuông và thể tích 32 dm³. Tìm cạnh đáy, chiều cao để diện tích vật liệu nhỏ nhất, bỏ qua độ dày và phần ghép.
Gọi cạnh đáy x>0 dm, chiều cao h>0 dm. Từ x²h=32, suy ra h=32/x². Hộp gồm một đáy và bốn mặt bên, nên:
$$S=x^2+4xh=x^2+128/x.$$
$$S'(x)=2x-128/x^2=\frac{2(x^3-64)}{x^2}.$$
Vì mẫu dương, đạo hàm âm khi 0<x<4, dương khi x>4. S giảm rồi tăng trên toàn miền dương, nên nhỏ nhất tại x=4. Khi đó h=2, S=16+32=48 dm².
Kết luận: cạnh đáy 4 dm, chiều cao 2 dm. Nếu thêm diện tích một nắp, ta đã đổi bài toán.
Thử: diện tích nào đúng?
Hộp đáy vuông cạnh x, cao h, có cả đáy và nắp. Diện tích toàn phần là gì?
Đây là diện tích hộp không nắp.
Đúng: đủ hai mặt vuông và bốn mặt bên.
Đây là thể tích, đơn vị khác diện tích.
Còn thiếu đáy và nắp.
Lời giải
S=2x²+4xh, chọn B. x²h là thể tích, không phải diện tích.
Ví dụ 2 — Hộp trụ kín có thể tích cố định
Một hộp hình trụ kín có thể tích 250π cm³. Tìm bán kính r và chiều cao h để diện tích vật liệu nhỏ nhất, coi vật liệu trên mọi mặt có cùng chi phí theo diện tích.
V=πr²h=250π, nên h=250/r², r>0. Diện tích gồm hai đáy tròn và mặt xung quanh:
$$S(r)=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi r^2+500\pi/r.$$
$$S'(r)=4\pi r-500\pi/r^2=\frac{4\pi(r^3-125)}{r^2}.$$
Đạo hàm đổi âm sang dương tại r=5. Vậy diện tích nhỏ nhất khi r=5 cm, h=10 cm, S=150π cm².
Ở bài trụ kín này h bằng đường kính 2r tại phương án tối ưu. Không học thuộc quan hệ đó để áp cho hộp không nắp hoặc vật liệu hai đáy có giá khác mặt bên.
Thử: đổi thể tích trụ
Trụ kín có thể tích 54π cm³, điều kiện chi phí như ví dụ 2. Tìm kích thước tối ưu.
Phải chia cho $r^2$, nên $h=54/r^2$ và tại $r=3$ thì $h=6$.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Diện tích toàn phần của trụ kín tại các kích thước này bằng $54\pi$ cm².
Dấu đúng đổi từ âm sang dương, nên $r=3$ cho cực tiểu.
Lời giải
h=54/r²; S=2πr²+108π/r. S′=4π(r³−27)/r² đổi âm sang dương tại r=3. Chọn r=3 cm,h=6 cm; Smin=54π cm².
Kết quả gần đúng và điều kiện thực tế
Giữ biểu thức chính xác đến bước cuối rồi mới làm tròn theo yêu cầu. Ví dụ căn bậc ba có thể giữ dạng căn khi thay lại vào chiều cao; làm tròn bán kính quá sớm sẽ làm chiều cao và thể tích lệch theo.
Nếu đề giới hạn kích thước hoặc chỉ cho các mức nguyên, kiểm lại miền và so sánh những phương án hợp lệ. Khi đề chỉ yêu cầu làm tròn số đo liên tục, không tự biến bài thành tối ưu kích thước nguyên.
Bài luyện 1
Hộp không nắp đáy vuông có thể tích 108 dm³. Tìm kích thước cho diện tích nhỏ nhất.
Thể tích đáy vuông là $x^2h$; do đó $h=108/x^2=3$ khi $x=6$.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Hộp không nắp chỉ có một đáy; dùng $2x^2$ là công thức của hộp kín.
Thay vào $x^2+4xh$ cho $36+72=108$ dm².
Lời giải
h=108/x²; S=x²+432/x; S′=2(x³−216)/x² đổi âm sang dương tại x=6. Chọn cạnh đáy 6 dm, cao 3 dm, diện tích 108 dm².
Bài luyện 2
Hộp không nắp ở ví dụ 1 bị giới hạn cạnh đáy 1≤x≤3 dm. Chọn x,h nào?
Giới hạn yêu cầu $x\le3$, nên $x=4$ bị loại.
Hàm giảm nên giá trị nhỏ nhất trên đoạn đạt tại đầu phải $x=3$.
Từ thể tích $x^2h=32$ suy ra $h=32/9$ khi $x=3$.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Lời giải
Với 1≤x≤3, S′<0 vì x³<64. S giảm nên nhỏ nhất tại x=3; h=32/9 dm. Không chọn x=4 vì vi phạm giới hạn.
Bài luyện 3
Đã tìm được x₀ làm đạo hàm bằng 0 trong một bài tối ưu. Nêu những việc cần kiểm trước khi kết luận phương án đó tốt nhất.
Điều kiện cần này chưa xác định cực đại hay cực tiểu và chưa bảo đảm điểm thuộc miền.
Miền và điều kiện thực tế quyết định phương án có hợp lệ hay không.
Biến tối ưu có thể chỉ là một kích thước trung gian; phải trả lời đúng đại lượng và các kích thước đề yêu cầu.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Lời giải
Kiểm x₀ thuộc miền và thỏa điều kiện thực tế; chứng minh bằng dấu đạo hàm hoặc so sánh đủ các điểm/đầu mút rằng đó là giá trị tối ưu trên toàn miền; tính đại lượng đề hỏi và kích thước còn lại; kiểm số nguyên, đơn vị và làm tròn. Đạo hàm bằng 0 một mình chưa đủ.
Hoàn thành phần học của chương
Đã nối được dấu đạo hàm, cực trị, GTLN–GTNN, tiệm cận, khảo sát và ứng dụng. Khi gặp câu mới, xác định dạng và phần kiến thức cần dùng trước; nếu vướng, quay lại đúng cụm thay vì đọc lại cả chương.
Luyện tiếp trong “Ứng dụng đạo hàm và đồ thị”, chọn nhóm “Bài toán tối ưu thực tiễn”. Bắt đầu bằng bài một biến với quan hệ rõ như các ví dụ trên, rồi mới sang câu kết hợp hình học hoặc tham số khó hơn. Phần học này trình bày các kiến thức và phương pháp của chương; khả năng làm vững cần thêm các lượt luyện với dữ kiện mới.
Đang học