Tính tổng và tích hai nghiệm từ các hệ số
Khi một phương trình bậc hai có hai nghiệm, tổng và tích của hai nghiệm có thể được tính trực tiếp từ các hệ số mà không cần tìm riêng từng nghiệm. Kết quả này được phát biểu trong định lí Viète.
Định lí Viète
Nếu x₁,x₂ là hai nghiệm của ax²+bx+c=0 (a≠0), kể cả trường hợp nghiệm kép, thì:
$$x_1+x_2=-\frac ba,\qquad x_1x_2=\frac ca.$$
Từ công thức nghiệm, khi cộng hai nghiệm thì hai căn triệt tiêu. Khi nhân, tử là $b^2-\Delta=4ac$, chia cho 4a² được c/a. Vì thế công thức tổng có dấu trừ, công thức tích không có dấu trừ.
Kiểm tra điều kiện rồi áp dụng
Xét 2x²−7x+4=0. Δ=49−32=17>0, nên có hai nghiệm thực. Theo Viète, tổng bằng 7/2, tích bằng 2.
Nếu cần $x_1^2+x_2^2$, dùng hằng đẳng thức: $(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=49/4-4=33/4$. Ta chưa cần tính riêng từng căn.
Nhẩm nghiệm 1 hoặc −1
Thay x=1 vào ax²+bx+c cho a+b+c. Vì vậy nếu a+b+c=0 thì một nghiệm là 1, nghiệm còn lại là c/a theo tích nghiệm.
Tương tự, nếu a−b+c=0 thì một nghiệm là −1, nghiệm còn lại là −c/a. Khi đã chỉ ra một nghiệm của phương trình bậc hai thực, có thể dùng Viète để tìm nghiệm kia.
Nhẩm nghiệm từ các hệ số
Với 3x²−8x+5=0, ta có 3−8+5=0 nên x₁=1, x₂=5/3.
Với 2x²+7x+5=0, ta có 2−7+5=0 nên x₁=−1. Tích hai nghiệm là 5/2, nên x₂=−5/2. Nghiệm thứ hai phải có dấu âm để tích với −1 là số dương.
Tìm hai số từ tổng và tích
Giả sử hai số có tổng S và tích P. Gọi một số là x thì số còn lại là S−x. Điều kiện tích cho x(S−x)=P, tương đương x²−Sx+P=0.
Do đó hai số cần tìm là hai nghiệm của phương trình này. Có hai số thực như vậy khi $S^2-4P\ge0$; nếu bằng 0 thì hai số bằng nhau.
Tổng 11, tích 24
Hai số cần tìm là nghiệm x²−11x+24=0. Ta có Δ=121−96=25, nên x=(11±5)/2, tức 8 và 3. Đối chiếu: 8+3=11 và 8·3=24. Nếu đề chỉ hỏi hai số thì đổi thứ tự không tạo một cặp mới.
Dùng tổng và tích
Không giải riêng từng nghiệm của $3x^2+2x-1=0$, đồng thời tìm hai số có tổng −7 và tích 10. Kết quả nào đúng?
Tổng nghiệm phải có dấu âm; hai số 5 và 2 có tổng dương 7.
Đúng. Cả dấu trong công thức Viète và cặp số đều phù hợp.
Tích hai nghiệm của phương trình đầu là $c/a=-\frac13$; cặp −5 và 2 có tích −10.
Cả tổng, tích và cặp số đều không khớp dữ kiện.
Lời giải
Phương trình đầu có
$$\Delta=2^2-4\cdot3\cdot(-1)=16>0,$$
nên có hai nghiệm thực. Theo Viète:
$$x_1+x_2=-\frac23,\qquad x_1x_2=-\frac13.$$
Hai số có tổng −7 và tích 10 là nghiệm của $x^2+7x+10=0$, tức −5 và −2. Chọn B.
Kiểm tra điều kiện áp dụng Viète
Có ý kiến cho rằng: “Trong tập số thực, phương trình $x^2+x+2=0$ có tổng hai nghiệm bằng −1 và tích bằng 2”. Nhận xét nào đúng?
Đọc hệ số chưa đủ; trước hết phải kiểm tra phương trình có nghiệm thực.
Phương trình bậc hai có thể có hai nghiệm phân biệt, nghiệm kép hoặc vô nghiệm thực.
Vấn đề không phải dấu của tổng mà là phương trình không có nghiệm thực.
Đúng. Biệt thức âm nên phát biểu về hai nghiệm thực không có căn cứ.
Lời giải
Biệt thức của phương trình là
$$\Delta=1^2-4\cdot1\cdot2=-7<0.$$
Phương trình không có nghiệm thực. Vì vậy, trong phạm vi số thực không có hai nghiệm để nói đến tổng và tích; không được bỏ điều kiện tồn tại nghiệm khi áp dụng Viète. Chọn D.
Định lí Viète và bài toán đảo
Nếu $x_1,x_2$ là hai nghiệm của $ax^2+bx+c=0$ thì $x_1+x_2=-\dfrac ba$ và $x_1x_2=\dfrac ca$. Ngược lại, hai số có tổng $S$ và tích $P$ là hai nghiệm của phương trình $x^2-Sx+P=0$, nếu phương trình này có nghiệm thực.
Đang học