Lập phương trình từ mối quan hệ giữa các đại lượng
Trong một bài toán thực tế, có thể chọn một đại lượng chưa biết làm ẩn rồi biểu diễn các đại lượng còn lại theo ẩn đó. Từ mối quan hệ trong đề bài, ta lập được một phương trình; ở phần này, phương trình nhận được thường là phương trình bậc hai.
Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình
**Bước 1. Lập phương trình:** Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp; biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn; lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
**Bước 2. Giải phương trình.**
**Bước 3. Trả lời:** Đối chiếu từng nghiệm với điều kiện của ẩn, loại nghiệm không phù hợp rồi kết luận theo yêu cầu của bài toán.
Điều kiện đến từ ý nghĩa đại lượng: độ dài dương, số xe nguyên dương, vận tốc ngược dòng dương. Một nghiệm đúng của phương trình vẫn có thể không phù hợp với bài toán.
Kích thước một mảnh vườn
Mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 5 m và diện tích 84 m². Gọi chiều rộng là x m, x>0; chiều dài là x+5 m. Theo diện tích: x(x+5)=84, hay x²+5x−84=0.
Δ=25+336=361=19², nên x=(−5±19)/2, tức x=7 hoặc x=−12. Loại −12 vì độ dài phải dương. Vậy chiều rộng 7 m, chiều dài 12 m; tích 7·12=84 m² đúng đề bài.
Chuyển động: viết bảng trước
Một ca nô đi 24 km xuôi dòng rồi 24 km ngược dòng, tổng thời gian di chuyển 5 giờ. Vận tốc dòng nước là 2 km/h. Tìm vận tốc ca nô khi nước yên lặng.
Gọi vận tốc cần tìm là x km/h, x>2 để ca nô đi ngược dòng được.
| Chặng | Quãng đường (km) | Vận tốc (km/h) | Thời gian (giờ) |
|---|---|---|---|
| Xuôi dòng | 24 | x+2 | 24/(x+2) |
| Ngược dòng | 24 | x−2 | 24/(x−2) |
Ta có $\frac{24}{x+2}+\frac{24}{x-2}=5$. Với x>2, khử mẫu được $24(x-2)+24(x+2)=5(x^2-4)$, hay $5x^2-48x-20=0$.
Δ=2304+400=2704=52². Hai nghiệm (48±52)/10 là 10 và −0,4; chỉ x=10 thỏa điều kiện. Kiểm tra: 24/12+24/8=2+3=5 giờ. Vận tốc cần tìm là 10 km/h.
Tăng cùng một tỉ lệ qua hai năm
Một vườn ươm có 800 cây. Sau mỗi năm, số cây tăng cùng tỉ lệ r so với đầu năm đó; sau hai năm có 968 cây. Tìm tỉ lệ tăng mỗi năm, giả sử r>0 và không có thay đổi khác.
Sau năm thứ nhất có 800(1+r) cây. Sau năm thứ hai có 800(1+r)² cây. Do đó (1+r)²=968/800=1,21. Vì 1+r>0, suy ra 1+r=1,1, nên r=0,1=10%.
Năm thứ hai tăng trên số cây đã có sau năm thứ nhất. Vì vậy không lấy tổng mức tăng rồi chia đôi để tìm tỉ lệ mỗi năm.
Lập phương trình từ bài toán phân chia
Một nhóm xe cùng loại dự định chia đều 72 tấn hàng. Khi có thêm 2 xe cùng loại, mỗi xe chở ít hơn dự định 3 tấn. Ban đầu có bao nhiêu xe?
Nếu có 8 xe ban đầu thì mức giảm mỗi xe không bằng 3 tấn.
Đúng. Nghiệm còn lại −8 bị loại theo điều kiện số xe nguyên dương.
Đây là khối lượng dự định mỗi xe chở khi có 6 xe, không phải số xe.
Với 4 xe ban đầu, mức chở giảm từ 18 xuống 12 tấn, tức giảm 6 tấn.
Lời giải
Gọi số xe ban đầu là x, với x là số nguyên dương. Mỗi xe dự định chở $\frac{72}{x}$ tấn; khi thêm 2 xe, mỗi xe chở $\frac{72}{x+2}$ tấn. Ta có
$$\frac{72}{x}-\frac{72}{x+2}=3.$$
Khử mẫu trong điều kiện $x>0$:
$$144=3x(x+2)\Rightarrow x^2+2x-48=0$$
$$\Rightarrow (x+8)(x-6)=0.$$
Hai nghiệm là −8 và 6; chỉ 6 là số nguyên dương. Kiểm tra: $72:6-72:8=12-9=3$ tấn. Chọn B.
Đối chiếu nghiệm với kích thước thực tế
Một sân hình chữ nhật $20\text{ m}\times12\text{ m}$ có lối đi rộng đều x mét ở phía trong, sát bốn cạnh. Phần giữa còn $128\text{ m}^2$. Chiều rộng lối đi là:
Nghiệm 14 của phương trình không thỏa điều kiện $x<6$ nên không tạo được phần giữa có kích thước dương.
Giá trị 4 không thỏa phương trình diện tích.
Đúng. Nghiệm 2 thỏa điều kiện và cho phần giữa kích thước 16 m × 8 m.
Với lối đi rộng 1 m, phần giữa có diện tích $18\cdot10=180\text{ m}^2$.
Lời giải
Vì lối đi nằm ở cả hai phía của mỗi kích thước nên phần giữa có kích thước $20-2x$ và $12-2x$. Điều kiện là $0<x<6$. Ta có
$$(20-2x)(12-2x)=128$$
$$\Rightarrow x^2-16x+28=0$$
$$\Rightarrow x=2\ \text{hoặc}\ x=14.$$
Nghiệm 14 không thỏa $x<6$, nên bị loại. Với $x=2$, phần giữa có diện tích $16\cdot8=128\text{ m}^2$. Chọn C.
Kiểm tra nghiệm trước khi trả lời
Lời giải phải nêu rõ ẩn, đơn vị và điều kiện; giải thích cách lập phương trình từ dữ kiện; giải phương trình và đối chiếu từng nghiệm với điều kiện. Ngoài điều kiện dương, đại lượng còn có thể phải là số nguyên hoặc nằm trong một khoảng nhất định. Kết luận cuối cùng cần trả lời đúng đại lượng mà đề bài yêu cầu.
Đang học