Khoảng cách từ tâm đến đường thẳng
Cho đường thẳng $a$ và đường tròn $(O;R)$. Gọi $H$ là chân đường vuông góc kẻ từ $O$ đến $a$ và đặt $d=OH$. So sánh $d$ với bán kính $R$ cho biết đường thẳng cắt đường tròn, tiếp xúc với đường tròn hay không có điểm chung với đường tròn.
Ba vị trí của đường thẳng
| Khoảng cách đến tâm | Vị trí | Số điểm chung |
|---|---|---|
| d<R | Cắt nhau | 2 |
| d=R | Tiếp xúc | 1 |
| d>R | Không giao nhau | 0 |
Khi tiếp xúc, đường thẳng gọi là tiếp tuyến, điểm chung gọi là tiếp điểm. Tiếp tuyến vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
Cách chứng minh một tiếp tuyến
Nếu A thuộc đường tròn tâm O và đường thẳng a đi qua A, vuông góc OA thì a là tiếp tuyến tại A. Cần cả hai điều: A nằm trên đường tròn và góc giữa a với OA bằng 90°. Một đường thẳng vuông góc với OA ở điểm khác A chưa đủ.
Chứng minh tiếp tuyến bằng tam giác vuông
Cho OA=5 cm là bán kính, AM=12 cm, OM=13 cm. Vì OA²+AM²=25+144=169=OM², tam giác OAM vuông tại A theo định lí Pythagore đảo.
Do đó MA vuông góc OA tại A thuộc đường tròn, nên MA là tiếp tuyến.
Hai tiếp tuyến từ một điểm ngoài
Nếu MA, MB là hai tiếp tuyến tại A,B của đường tròn tâm O thì MA=MB; tia MO phân giác góc AMB; tia OM phân giác góc AOB.
Để giải thích, xét hai tam giác vuông OAM và OBM: cạnh huyền OM chung, OA=OB là hai bán kính. Hai tam giác bằng nhau theo cạnh huyền–cạnh góc vuông, từ đó suy ra các cạnh và góc tương ứng bằng nhau.
Tính độ dài tiếp tuyến
Cho OM=10 cm, bán kính OA=6 cm. Vì OA vuông góc MA, tam giác OAM vuông tại A. Ta có $MA=\sqrt{OM^2-OA^2}=\sqrt{100-36}=8$ cm. Tiếp tuyến còn lại MB cũng dài 8 cm.
Chứng minh đường trung trực
Từ điểm M ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tại A và B. Lập luận nào chứng minh đúng OM là đường trung trực của AB?
Có cạnh chung chưa đủ để kết luận vuông góc.
Hai quan hệ vuông góc ở hai điểm khác nhau không làm A, O, B thẳng hàng.
Đúng. Tập hợp các điểm cách đều A và B là đường trung trực của AB.
MA và MB là các đoạn tiếp tuyến, không phải dây của đường tròn.
Lời giải
Hai bán kính cho $OA=OB$, nên O cách đều A và B. Hai tiếp tuyến xuất phát từ M cho $MA=MB$, nên M cũng cách đều A và B.
Do đó hai điểm phân biệt O và M cùng nằm trên đường trung trực của AB. Đường thẳng OM chính là đường trung trực ấy, suy ra $OM\perp AB$. Chọn C.
Dựng đường tròn tiếp xúc một đường thẳng
Cho điểm O không thuộc đường thẳng a. Cách dựng nào tạo được đường tròn tâm O tiếp xúc với a?
Đúng. H là chân đường vuông góc và đồng thời là tiếp điểm.
Nếu OH không vuông góc a thì a không phải tiếp tuyến tại H.
Tiếp điểm phải nằm trên a, còn đường song song qua O không xác định được bán kính cần dựng.
Khi bán kính nhỏ hơn khoảng cách từ O đến a, đường tròn và a không có điểm chung.
Lời giải
Kẻ $OH\perp a$ tại H rồi vẽ đường tròn tâm O bán kính OH. Khi đó H thuộc đường tròn và đường thẳng a vuông góc với bán kính OH tại H. Theo dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến, a là tiếp tuyến của đường tròn tại H. Chọn A.
Kiến thức cần nhớ
Đường thẳng $a$ cắt, tiếp xúc hoặc không giao với đường tròn $(O;R)$ tương ứng khi khoảng cách $d$ từ $O$ đến $a$ nhỏ hơn, bằng hoặc lớn hơn $R$. Tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm. Hai tiếp tuyến kẻ từ một điểm ngoài đường tròn có độ dài bằng nhau.
Đang học