Số điểm chung của hai đường tròn
Hai đường tròn phân biệt có thể có hai điểm chung, một điểm chung hoặc không có điểm chung. Tương ứng, ta nói hai đường tròn cắt nhau, tiếp xúc nhau hoặc không giao nhau. Vị trí đó được xác định bằng cách so sánh khoảng cách hai tâm với tổng và hiệu hai bán kính.
Các vị trí tương đối của hai đường tròn
Xét hai đường tròn phân biệt có khoảng cách hai tâm $d=OO'$, bán kính $R\ge r>0$:
| Điều kiện | Vị trí |
|---|---|
| d>R+r | Ngoài nhau |
| d=R+r | Tiếp xúc ngoài |
| R-r<d<R+r | Cắt nhau tại hai điểm |
| d=R-r và R>r | Tiếp xúc trong |
| d<R-r | Đường tròn bán kính $R$ đựng đường tròn bán kính $r$; hai đường tròn không giao nhau |
Nếu d=0 và R>r, hai đường tròn đồng tâm, không giao nhau. Nếu d=0 và R=r, chúng trùng nhau, không phải tiếp xúc trong.
Một cặp bán kính, nhiều vị trí
Cho $R=6$ cm, $r=2$ cm. Ta có $R+r=8$ cm và $R-r=4$ cm.
- Với $d=9$ cm, ta có $d>R+r$, nên hai đường tròn ở ngoài nhau.
- Với $d=8$ cm, ta có $d=R+r$, nên hai đường tròn tiếp xúc ngoài.
- Với $d=5$ cm, ta có $R-r<d<R+r$, nên hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm.
- Với $d=4$ cm, ta có $d=R-r$, nên hai đường tròn tiếp xúc trong.
- Với $d=3$ cm, ta có $d<R-r$, nên đường tròn nhỏ nằm hoàn toàn bên trong đường tròn lớn và hai đường tròn không có điểm chung.
Vì sao cần so sánh với tổng và hiệu hai bán kính?
Khi hai đường tròn tiếp xúc, tiếp điểm $A$ nằm trên đường thẳng $OO′$. Với tiếp xúc ngoài, $A$ nằm giữa hai tâm nên $OO′=OA+O′A=R+r$. Với tiếp xúc trong và $R>r$, ta có $OO′=R-r$.
Khi hai đường tròn cắt nhau tại $A$, ba điểm $O,O′,A$ tạo thành một tam giác có các cạnh $R,r,d$. Bất đẳng thức tam giác cho
$$R-r<d<R+r.$$
Vì vậy, tổng và hiệu hai bán kính chính là hai mốc giúp phân biệt các vị trí của hai đường tròn.
Phân loại ba vị trí
Hai đường tròn có bán kính 7 cm và 3 cm. Khi khoảng cách hai tâm lần lượt là 4 cm, 6 cm và 11 cm, ba vị trí tương ứng là:
Khoảng cách 4 cm bằng hiệu bán kính nên là tiếp xúc trong, không phải tiếp xúc ngoài.
Khoảng cách 6 cm nằm giữa hiệu và tổng bán kính nên hai đường tròn cắt nhau.
Trường hợp $d=4$ là tiếp xúc trong, còn $d=6$ mới là cắt nhau.
Đúng. Ba khoảng cách lần lượt bằng hiệu, nằm giữa hiệu và tổng, rồi lớn hơn tổng bán kính.
Lời giải
Hiệu và tổng hai bán kính là
$$7-3=4\text{ cm},\qquad 7+3=10\text{ cm}.$$
Vì vậy:
- $d=4$: tiếp xúc trong;
- $4<d=6<10$: cắt nhau tại hai điểm;
- $d=11>10$: ngoài nhau.
Chọn D.
Hai đường tròn có bán kính bằng nhau
Hai đường tròn khác tâm cùng có bán kính 3 cm và khoảng cách hai tâm bằng 2 cm. Chúng có bao nhiêu điểm chung?
Điều kiện không giao nhau không thỏa mãn vì khoảng cách hai tâm nằm giữa hiệu và tổng bán kính.
Đúng. Điều kiện $|R-r|<d<R+r$ được thỏa mãn.
Một điểm chung chỉ xảy ra khi $d=R+r=6$ hoặc $d=|R-r|=0$ với hai đường tròn phân biệt.
Hai đường tròn chỉ trùng nhau khi cùng tâm và cùng bán kính; ở đây hai tâm khác nhau.
Lời giải
Hiệu hai bán kính bằng 0, tổng hai bán kính bằng 6 cm. Khoảng cách hai tâm thỏa mãn
$$0<2<6.$$
Do đó hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm. Hai tâm khác nhau nên chúng không trùng nhau. Chọn B.
Cách xác định vị trí tương đối
Đặt $d=OO'$ và giả sử $R\ge r$. Hai đường tròn cắt nhau khi $R-r<d<R+r$; tiếp xúc ngoài khi $d=R+r$; tiếp xúc trong khi $d=R-r>0$; ngoài nhau khi $d>R+r$; không giao nhau và đường tròn lớn đựng đường tròn nhỏ khi $d<R-r$. Trường hợp $d=0$, $R=r$ là hai đường tròn trùng nhau.
Đang học