Đường tròn và tính đối xứng

Các điểm cách đều một điểm cho trước

Khi vẽ bằng compa, đầu bút luôn cách chân kim một khoảng không đổi. Vì thế, mọi điểm trên nét vẽ đều cách chân kim cùng một khoảng. Chân kim là tâm, còn khoảng cách không đổi đó là bán kính của đường tròn.

Đường tròn và vị trí của một điểm

A ở trong, B ở trên và C ở ngoài đường tròn tâm O.

Đường tròn tâm $O$, bán kính $R>0$ là hình gồm tất cả các điểm $M$ cách $O$ một khoảng bằng $R$, kí hiệu là $(O;R)$. Hình tròn gồm các điểm nằm trên và nằm trong đường tròn. | Khoảng cách | Vị trí M | |---|---| | OM<R | Bên trong đường tròn | | OM=R | Trên đường tròn | | OM>R | Bên ngoài đường tròn | Đường kính đi qua tâm, dài 2R. Một điểm ở trong hình tròn không nhất thiết nằm trên đường tròn.

So sánh với cùng một bán kính

Cho đường tròn (O;5 cm), các điểm A,B,C có OA=3 cm, OB=5 cm, OC=7 cm. A nằm trong, B nằm trên, C nằm ngoài đường tròn. Muốn chứng minh một điểm thuộc đường tròn, ta cần chỉ ra khoảng cách đến tâm bằng bán kính.

Chứng minh điểm thuộc đường tròn

Tam giác ABC vuông tại A, O là trung điểm BC. Trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền nên OA=BC/2. Đồng thời OB=OC=BC/2. Vậy A, B, C cùng nằm trên đường tròn tâm O, bán kính BC/2.

Tâm và trục đối xứng

Tâm O là tâm đối xứng của đường tròn. Nếu M nằm trên đường tròn và M′ đối xứng M qua O thì OM′=OM=R, nên M′ cũng nằm trên đường tròn. Mọi đường thẳng qua O là một trục đối xứng. Phép đối xứng qua đường thẳng đó giữ khoảng cách đến O, nên biến điểm trên đường tròn thành điểm trên cùng đường tròn. Đường tròn có vô số trục đối xứng.

Dùng tính đối xứng để nhận biết đường kính

Cho đường tròn $(O;R)$, điểm A thuộc đường tròn và B đối xứng với A qua O. Lập luận nào chứng minh đúng AB là đường kính?

AVì A và B đối xứng nên AB vuông góc OA.BVì A, O, B thẳng hàng và $OB=OA=R$, nên B thuộc đường tròn và AB đi qua tâm.CVì $AB=R$ nên AB là bán kính đồng thời là đường kính.DVì O nằm trên đường tròn nên mọi đoạn qua O đều là đường kính.

Kiến thức cần nhớ

Điểm $M$ nằm trên, nằm trong hoặc nằm ngoài đường tròn $(O;R)$ tùy theo $OM=R$, $OM<R$ hay $OM>R$. Tâm $O$ là tâm đối xứng của đường tròn; mọi đường thẳng đi qua $O$ đều là trục đối xứng của đường tròn.