Dây và cung của một đường tròn
Cho hai điểm $A,B$ thuộc một đường tròn. Đoạn thẳng $AB$ là một dây của đường tròn. Hai điểm $A,B$ chia đường tròn thành hai phần; mỗi phần là một cung có hai đầu mút $A,B$. Vì vậy, dây và cung có thể có cùng hai đầu mút nhưng là hai đối tượng khác nhau.
Đường kính là dây lớn nhất
Dây đi qua tâm là đường kính, dài 2R. Nếu dây AB không qua O, tam giác AOB có AB<OA+OB=2R theo bất đẳng thức tam giác. Vì vậy mọi dây đều không dài hơn đường kính; bằng đường kính chỉ khi đi qua tâm.
Góc ở tâm và số đo cung
Góc có đỉnh tại tâm là góc ở tâm. Khi 0°<AOB<180°, cung nhỏ AB nằm trong góc này và có số đo bằng góc AOB. Cung lớn còn lại có số đo 360°-AOB. Nếu AB là đường kính, mỗi cung là nửa đường tròn, số đo 180°.
Số đo cung được tính bằng độ; độ dài cung được tính bằng đơn vị độ dài. Hai khái niệm này cần phân biệt.
Tính hai cung chung đầu mút
Cho AOB=110°. Cung nhỏ AB có số đo 110°, cung lớn AB có số đo 360°-110°=250°. Tổng hai số đo bằng 360°, đúng một vòng đường tròn.
Tìm số đo cung từ tam giác
Cho $OA=OB=AB=R$. Số đo cung nhỏ AB và cung lớn AB lần lượt là:
Tam giác AOB là tam giác đều nên góc ở tâm không bằng 120°.
Góc ở tâm $90^\circ$ chỉ xuất hiện khi OA vuông góc OB.
Đúng. Hai cung có tổng số đo $360^\circ$.
Hai số đo cung chung đầu mút phải có tổng bằng $360^\circ$.
Lời giải
Tam giác AOB có ba cạnh bằng nhau nên là tam giác đều. Vì thế góc ở tâm
$$\widehat{AOB}=60^\circ.$$
Cung nhỏ AB có số đo 60°, còn cung lớn AB có số đo $360^\circ-60^\circ=300^\circ$. Chọn C.
Kiểm tra giới hạn độ dài dây
Một đường tròn có bán kính 4 cm. Kết luận nào đúng về khả năng có một dây dài 9 cm?
Đúng. So sánh độ dài dây với đường kính, không chỉ với bán kính.
Dây có thể dài hơn bán kính nhưng không thể dài hơn đường kính.
Dây không qua tâm còn ngắn hơn đường kính.
Dây có thể dài hơn 4 cm; giới hạn đúng là đường kính 8 cm.
Lời giải
Đường kính của đường tròn dài
$$2R=2\cdot4=8\text{ cm}.$$
Đường kính là dây lớn nhất nên mọi dây đều dài không quá 8 cm. Vì $9>8$, không thể có dây dài 9 cm. Chọn A.
Kiến thức cần nhớ
Dây là đoạn thẳng nối hai điểm của đường tròn; dây đi qua tâm là đường kính và là dây lớn nhất. Góc ở tâm có đỉnh trùng với tâm đường tròn. Số đo cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó; số đo cung lớn bằng $360^\circ$ trừ số đo cung nhỏ.
Đang học