Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Một buổi diễn bán 50 vé, gồm vé người lớn giá 80 nghìn đồng và vé học sinh giá 50 nghìn đồng, thu tổng cộng 3 100 nghìn đồng. Tìm số vé mỗi loại. Gọi $x$ là số vé người lớn, $y$ là số vé học sinh; $x,y$ là các số nguyên không âm và không quá 50. | Loại vé | Số vé | Giá một vé (nghìn đồng) | Thành tiền (nghìn đồng) | |---|---|---|---| | Người lớn | $x$ | 80 | $80x$ | | Học sinh | $y$ | 50 | $50y$ | Từ dữ kiện về tổng số vé, ta có $x+y=50$. Từ dữ kiện về tổng số tiền, ta có $80x+50y=3100$. Do đó $$\begin{cases}x+y=50\\80x+50y=3100.\end{cases}$$ Từ phương trình đầu, $y=50-x$. Thế vào phương trình thứ hai: $$80x+50(50-x)=3100.$$ Suy ra $30x=600$, nên $x=20$ và $y=30$. Cả hai đều thỏa điều kiện. Kiểm lại: 20 + 30 = 50 vé và $80\cdot20+50\cdot30=3100$ nghìn đồng. Vậy có 20 vé người lớn, 30 vé học sinh.

Hai tổ dự kiến làm tổng cộng 500 sản phẩm. Tổ A vượt kế hoạch 10%, tổ B vượt 20%, nên làm được tổng cộng 570 sản phẩm. Hỏi mỗi tổ dự kiến làm bao nhiêu sản phẩm? Gọi $x,y$ lần lượt là số sản phẩm dự kiến của A, B; $x,y$ là các số nguyên dương. | Tổ | Dự kiến | Thực tế | |---|---|---| | A | $x$ | $1{,}1x$ | | B | $y$ | $1{,}2y$ | | Tổng | 500 | 570 | Ta có $x+y=500$ và $1{,}1x+1{,}2y=570$. Nhân phương trình đầu với $1{,}1$ rồi lấy phương trình thứ hai trừ đi, được $0{,}1y=20$. Suy ra $y=200$, $x=300$. Số thực tế tương ứng là 330 và 240, cộng lại bằng 570. Vậy dự kiến tổ A làm 300 sản phẩm, tổ B làm 200 sản phẩm.

Hai đội cùng làm một công việc trong 6 ngày thì xong. Mỗi ngày đội A làm được gấp đôi đội B. Giả sử năng suất mỗi đội không đổi, hỏi từng đội làm riêng mất bao lâu? Gọi $x,y$ lần lượt là phần công việc đội A, B làm được trong một ngày; $x>0,y>0$. Coi toàn bộ công việc là 1. Vì hai đội cùng làm trong 6 ngày thì xong nên mỗi ngày cả hai đội làm được $\frac16$ công việc: $$\begin{cases}x+y=\frac16\\x=2y.\end{cases}$$ Thế $x=2y$ cho $3y=\frac16$, nên $y=\frac1{18}$ và $x=\frac19$. Do đó đội A làm riêng hết 9 ngày, đội B hết 18 ngày. Kiểm tra $\frac19+\frac1{18}=\frac16$ và năng suất A gấp đôi B. Ta cộng phần công việc mỗi ngày, không cộng số ngày làm riêng. Khi chọn ẩn là năng suất, nghiệm của hệ còn cần đổi sang thời gian mà đề hỏi.