Nhận biết hình trụ
Hộp sữa, thùng đựng nước và nhiều vật dụng quen thuộc có dạng hình trụ. Khi quay một hình chữ nhật một vòng quanh một cạnh cố định, ta được một hình trụ. Hình trụ có hai đáy là hai hình tròn bằng nhau; mặt còn lại là mặt xung quanh.
Các yếu tố của hình trụ
Hình trụ có hai đáy là hai hình tròn bằng nhau, cùng bán kính $r$. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng chứa hai đáy là chiều cao $h$. Các đường sinh trên mặt xung quanh có độ dài bằng $h$.
Có thể tạo hình trụ bằng cách quay một hình chữ nhật quanh một cạnh cố định. Cạnh trên trục quay cho chiều cao; cạnh vuông góc với trục cho bán kính đáy.
Diện tích và thể tích
Khi khai triển mặt xung quanh, ta được hình chữ nhật có hai kích thước là $2\pi r$ và $h$. Do đó
$$S_{xq}=2\pi rh,\qquad V=\pi r^2h.$$
Thể tích bằng diện tích đáy nhân chiều cao. Nếu tính cả hai đáy thì $S_{tp}=2\pi rh+2\pi r^2$. Một hộp không nắp chỉ có mặt xung quanh và một đáy; cần đọc đúng phần yêu cầu.
Tính cho hộp không nắp
Một hộp hình trụ không nắp có bán kính đáy $4$ cm, chiều cao $10$ cm. Bỏ qua độ dày của vật liệu. Diện tích xung quanh là
$$S_{xq}=2\pi\cdot4\cdot10=80\pi\text{ cm}^2.$$
Diện tích vật liệu dùng để làm hộp là
$$80\pi+\pi\cdot4^2=96\pi\text{ cm}^2,$$
chưa tính phần mép dán. Dung tích của hộp là
$$V=\pi\cdot4^2\cdot10=160\pi\text{ cm}^3\approx503\text{ cm}^3=503\text{ mL}.$$
Diện tích vật liệu và dung tích là hai đại lượng khác nhau, vì vậy cần xác định đúng yêu cầu trước khi tính.
Đổi từ mét khối sang lít
Một bồn hình trụ có bán kính trong $0{,}5$ m và chiều cao trong $1{,}2$ m. Dung tích của bồn là
$$V=\pi\cdot(0{,}5)^2\cdot1{,}2=0{,}3\pi\text{ m}^3.$$
Vì $1\text{ m}^3=1\,000$ lít nên bồn chứa được $300\pi$ lít, tức khoảng $942$ lít. Các kích thước đã cho đều là kích thước phía trong của bồn.
Đọc kích thước tấm giấy khai triển
Cuộn tấm giấy hình chữ nhật $12\text{ cm}\times20\text{ cm}$ để hai cạnh dài 12 cm sát nhau, không chồng mép. Chiều cao và bán kính hình trụ tạo thành là:
Đúng. Cạnh ghép cho chiều cao và cạnh còn lại cho chu vi đáy.
Đã đổi vai trò hai kích thước của tấm giấy.
Từ $2\pi r=20$ phải suy ra $r=10/\pi$, không phải $20/\pi$.
Phương án này vừa đổi sai chiều cao vừa dùng 12 cm như bán kính thay vì chu vi.
Lời giải
Hai cạnh dài 12 cm được ghép với nhau nên đường ghép chạy theo chiều cao:
$$h=12\text{ cm}.$$
Cạnh dài 20 cm còn lại trở thành chu vi đáy, vì thế
$$2\pi r=20\Rightarrow r=\frac{10}{\pi}\text{ cm}.$$
Tấm giấy mới tạo mặt xung quanh, chưa có hai đáy. Chọn A.
Tính diện tích và thể tích lon kín
Một lon kín hình trụ có đường kính 6 cm, chiều cao 8 cm. Bỏ qua độ dày và mép nối. Diện tích toàn phần và thể tích lần lượt là:
$48\pi$ chỉ là diện tích xung quanh, chưa tính hai đáy.
Đã dùng đường kính 6 cm thay cho bán kính khi tính thể tích.
Đúng. Lon kín có mặt xung quanh và đủ hai đáy.
Diện tích toàn phần đã bị cộng thừa $30\pi\text{ cm}^2$.
Lời giải
Bán kính đáy là $r=6:2=3$ cm. Diện tích xung quanh:
$$S_{xq}=2\pi rh=2\pi\cdot3\cdot8=48\pi\text{ cm}^2.$$
Hai đáy có tổng diện tích $2\pi r^2=18\pi\text{ cm}^2$, nên
$$S_{tp}=48\pi+18\pi=66\pi\text{ cm}^2.$$
Thể tích là $V=\pi r^2h=\pi\cdot9\cdot8=72\pi\text{ cm}^3$. Chọn C.
Các công thức cần nhớ
Hình trụ bán kính đáy $r$, chiều cao $h$ có diện tích xung quanh $S_{xq}=2\pi rh$ và thể tích $V=\pi r^2h$. Khi tính diện tích toàn phần hoặc diện tích vật liệu, cần xác định vật có một đáy hay hai đáy. Diện tích dùng đơn vị vuông, thể tích dùng đơn vị khối; $1\text{ cm}^3=1\text{ mL}$.
Đang học