Nhận biết hình nón
Nón lá, phễu và một số chi tiết cơ khí có dạng hình nón. Khi quay tam giác vuông $SOA$ một vòng quanh cạnh góc vuông $SO$, ta được hình nón đỉnh $S$. Đáy của hình nón là hình tròn tâm $O$; mặt còn lại là mặt xung quanh.
Các yếu tố và tam giác vuông
Khi quay tam giác $SOA$ vuông tại $O$ quanh cạnh $SO$, ta được hình nón có đỉnh $S$, chiều cao $SO=h$, bán kính đáy $OA=r$ và đường sinh $SA=l$. Theo định lí Pythagore:
$$l^2=h^2+r^2.$$
Vì $r>0$ nên $l>h$. Nếu biết $l$ và $r$ thì $h=\sqrt{l^2-r^2}$, không lấy hiệu $l-r$.
Mặt xung quanh khai triển thành hình quạt
Khi cắt mặt xung quanh theo một đường sinh rồi trải phẳng, ta được một hình quạt tròn bán kính $l$. Độ dài cung của hình quạt bằng chu vi đáy $2\pi r$. Vì diện tích hình quạt bằng một nửa tích của bán kính và độ dài cung nên
$$S_{xq}=\frac12\cdot2\pi r\cdot l=\pi rl.$$
Thể tích hình nón là $V=\frac13\pi r^2h$. Nếu tính cả đáy thì diện tích toàn phần là $S_{tp}=\pi rl+\pi r^2$. Chẳng hạn, một chiếc mũ giấy hình nón thường chỉ có mặt xung quanh, không có đáy.
Tính diện tích và thể tích
Một hình nón có $r=8$ cm, $l=17$ cm. Diện tích xung quanh là
$$S_{xq}=\pi\cdot8\cdot17=136\pi\text{ cm}^2.$$
Muốn tính thể tích, trước hết cần tìm chiều cao:
$$h=\sqrt{17^2-8^2}=15\text{ cm}.$$
Do đó
$$V=\frac13\pi\cdot8^2\cdot15=320\pi\text{ cm}^3.$$
Không thể thay $17$ vào vị trí của $h$ trong công thức thể tích, vì $17$ cm là độ dài đường sinh.
Cuộn một nửa hình tròn
Một nửa hình tròn bằng giấy có bán kính $12$ cm được cuộn thành mặt xung quanh của một hình nón; hai bán kính được ghép sát nhau và không chồng mép. Khi đó, đường sinh của hình nón bằng $12$ cm. Cung của nửa đường tròn dài $12\pi$ cm và trở thành chu vi đáy, nên
$$2\pi r=12\pi\Rightarrow r=6\text{ cm}.$$
Chiều cao của hình nón là
$$h=\sqrt{12^2-6^2}=6\sqrt3\text{ cm}.$$
Cần nhớ: bán kính của hình quạt ban đầu trở thành đường sinh, không trở thành bán kính đáy.
Tìm bán kính rồi tính diện tích, thể tích
Hình nón có chiều cao $h=12$ cm và đường sinh $l=13$ cm. Bán kính đáy, diện tích xung quanh và thể tích lần lượt là:
Diện tích xung quanh phải dùng đường sinh 13 cm, không dùng chiều cao 12 cm.
Đúng. Đường sinh là cạnh huyền của tam giác vuông.
Bán kính phải tìm bằng định lí Pythagore, không lấy hiệu $13-12$.
Thể tích hình nón có hệ số $\frac13$; phương án này chưa chia cho 3.
Lời giải
Trong tam giác vuông tạo bởi chiều cao, bán kính và đường sinh:
$$r=\sqrt{l^2-h^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5\text{ cm}.$$
Do đó
$$S_{xq}=\pi rl=\pi\cdot5\cdot13=65\pi\text{ cm}^2,$$
$$V=\frac13\pi r^2h=\frac13\pi\cdot25\cdot12=100\pi\text{ cm}^3.$$
Chọn B.
So sánh thể tích hình trụ và hình nón
Một hình trụ và một hình nón có cùng diện tích đáy S và cùng chiều cao h. Kết luận nào đúng?
Hình nón chỉ có thể tích bằng một phần ba thể tích hình trụ.
Quan hệ đã bị đảo ngược.
Hệ số của thể tích hình nón là $\frac13$, không phải $\frac12$.
Đúng. Cùng đáy và chiều cao, hình nón có thể tích bằng một phần ba hình trụ.
Lời giải
Thể tích hình trụ là
$$V_{trụ}=Sh,$$
còn thể tích hình nón là
$$V_{nón}=\frac13Sh.$$
Vì cùng S và h, thể tích hình trụ gấp 3 lần thể tích hình nón. Chọn D.
Các công thức cần nhớ
Hình nón bán kính đáy $r$, chiều cao $h$, đường sinh $l$ có $l^2=h^2+r^2$, diện tích xung quanh $S_{xq}=\pi rl$ và thể tích $V=\dfrac13\pi r^2h$. Khi cuộn một hình quạt thành mặt xung quanh hình nón, bán kính quạt trở thành đường sinh và độ dài cung trở thành chu vi đáy.
Đang học