Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác
Tâm của đường tròn tiếp xúc với cả ba cạnh của một tam giác phải cách đều ba cạnh ấy. Giao điểm các đường phân giác trong của tam giác là điểm có tính chất đó.
Tâm và bán kính nội tiếp
Đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc với cả ba cạnh, với tiếp điểm nằm trên các cạnh ấy. Tâm I là giao điểm ba đường phân giác trong. Hạ ID vuông góc một cạnh; bán kính r=ID.
Điểm trên phân giác cách đều hai cạnh của góc. Do đó các khoảng cách vuông góc từ I đến ba cạnh bằng nhau. Đường tròn tâm I với bán kính ấy tiếp xúc ba cạnh theo dấu hiệu tiếp tuyến.
Dựng và giải thích
Vẽ hai phân giác trong của góc B,C, giao điểm là I. Từ I hạ ID vuông góc BC rồi vẽ đường tròn (I;ID). Nếu IE,IF là đường vuông góc tới CA,AB thì IE=ID=IF. Vì mỗi cạnh vuông góc với bán kính tại chân đường vuông góc, chúng là tiếp tuyến của đường tròn.
Khi dựng trên giấy, có thể dùng compa tạo hai điểm cách đỉnh góc bằng nhau trên hai cạnh, rồi hai cung cùng bán kính từ hai điểm đó để tìm đường phân giác.
Bán kính nội tiếp tam giác đều
Trong tam giác đều, phân giác cũng là trung tuyến, nên tâm nội tiếp và ngoại tiếp cùng là trọng tâm G. Với H là trung điểm một cạnh, GH bằng 1/3 đường cao:
$$r=\frac13\cdot\frac{a\sqrt3}{2}=\frac{a\sqrt3}{6},\qquad R=2r.$$
r đo từ tâm đến cạnh; R đo từ tâm đến đỉnh. Quan hệ R=2r ở đây gắn với tam giác đều.
Tính góc từ hai phân giác
Tam giác ABC có góc B=70°, C=50°, I là tâm nội tiếp. Vì BI,CI là phân giác, góc IBC=35°, ICB=25°. Trong tam giác BIC, góc BIC=180°−35°−25°=120°. Ta dùng phân giác và tổng góc tam giác, không cần học thêm công thức riêng.
Tính hai bán kính của tam giác đều
Tam giác đều cạnh 12 cm có bán kính nội tiếp r và bán kính ngoại tiếp R bằng:
Đã đổi chỗ bán kính nội tiếp và ngoại tiếp.
Đúng. Trong tam giác đều, $R=2r$.
Bán kính ngoại tiếp chỉ gấp đôi bán kính nội tiếp, không gấp ba.
Các giá trị này chưa sử dụng chiều cao của tam giác đều.
Lời giải
Với tam giác đều cạnh a:
$$r=\frac{a\sqrt3}{6},\qquad R=\frac{a\sqrt3}{3}.$$
Thay $a=12$ cm:
$$r=2\sqrt3\text{ cm},\qquad R=4\sqrt3\text{ cm}.$$
Hai đường tròn có cùng tâm nhưng bán kính ngoại tiếp gấp đôi bán kính nội tiếp. Chọn B.
Giải thích tính tiếp xúc với ba cạnh
I là giao điểm các phân giác trong tam giác ABC. Các chân vuông góc từ I tới BC, CA, AB lần lượt là D, E, F. Lập luận nào chứng minh đường tròn $(I;ID)$ tiếp xúc cả ba cạnh?
Các chân đường vuông góc không nhất thiết là trung điểm của các cạnh.
Tâm nội tiếp cách đều ba cạnh, không phải lúc nào cũng cách đều ba đỉnh.
Đúng. Lập luận sử dụng cả khoảng cách bằng nhau và dấu hiệu tiếp tuyến.
Một quan hệ vuông góc chỉ chứng minh được tiếp xúc với cạnh BC, chưa đủ cho hai cạnh còn lại.
Lời giải
Vì I nằm trên các đường phân giác trong nên khoảng cách từ I đến ba cạnh bằng nhau:
$$ID=IE=IF.$$
Do đó D, E, F cùng thuộc đường tròn tâm I bán kính ID. Lại có $ID\perp BC$, $IE\perp CA$, $IF\perp AB$, nên mỗi cạnh vuông góc với một bán kính tại điểm thuộc đường tròn. Theo dấu hiệu tiếp tuyến, ba cạnh lần lượt tiếp xúc tại D, E, F. Chọn C.
Kiến thức cần nhớ
Đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với ba cạnh. Tâm nội tiếp là giao điểm ba đường phân giác trong; bán kính là khoảng cách vuông góc từ tâm đến một cạnh. Với tam giác đều cạnh $a$, tâm nội tiếp trùng tâm ngoại tiếp và bán kính nội tiếp bằng $\dfrac{a\sqrt3}{6}$.
Đang học