Tứ giác nội tiếp

Bốn đỉnh cùng nằm trên một đường tròn

Một đường tròn luôn được xác định bởi ba điểm không thẳng hàng, nhưng chưa chắc đi qua một điểm thứ tư. Tứ giác được gọi là nội tiếp khi cả bốn đỉnh của nó cùng nằm trên một đường tròn.

Định nghĩa và một cách chứng minh

Tứ giác nội tiếp có bốn đỉnh nằm trên cùng một đường tròn. Nếu tìm được O sao cho OA=OB=OC=OD, ta đã chứng minh ABCD nội tiếp đường tròn tâm O. Trong bài có hai tam giác vuông chung cạnh huyền, trung điểm cạnh huyền thường là điểm cách đều cần tìm.

Hai góc vuông cùng nhìn một đoạn

A và C nằm ở hai phía BD; góc BAD và BCD vuông, O là trung điểm BD. Bốn đỉnh cách O cùng một khoảng.

Cho tứ giác lồi ABCD có góc BAD và BCD đều vuông. Gọi O là trung điểm BD. Trong tam giác ABD vuông tại A, OA=OB=OD=BD/2. Trong tam giác CBD vuông tại C, OC=OB=OD=BD/2. Suy ra OA=OB=OC=OD, nên ABCD nội tiếp đường tròn tâm O. Lời giải đã chỉ rõ tâm và bán kính, không chỉ kết luận từ hình trông giống nội tiếp.

Tổng hai góc đối

Trong một tứ giác nội tiếp, hai góc đối có tổng 180°: A+C=180°, B+D=180°. Vì góc A và góc C là hai góc nội tiếp chắn hai cung BD bổ sung thành cả đường tròn, tổng số đo của chúng bằng một nửa 360°, tức 180°. Ta dùng định lí sau khi đã biết tứ giác nội tiếp.

Tính góc khi đã có nội tiếp

ABCD nội tiếp, A=82°, B=105°. Suy ra C=180°−82°=98°, D=180°−105°=75°. Tổng bốn góc là 360°, phù hợp tổng góc tứ giác.

Hình chữ nhật và hình vuông

Hai đường chéo hình chữ nhật bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Vì vậy giao điểm O cách đều bốn đỉnh, là tâm ngoại tiếp; bán kính bằng nửa đường chéo. Hình chữ nhật hai cạnh 8 cm,15 cm có đường chéo 17 cm, bán kính 8,5 cm. Hình vuông cạnh a có đường chéo a√2, nên bán kính a√2/2.

Chứng minh bốn điểm cùng thuộc đường tròn

Tam giác ABC nhọn, $BE\perp AC$ tại E, $CF\perp AB$ tại F. Gọi O là trung điểm BC. Lập luận nào chứng minh đúng B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn?

AHai tam giác BEC và BFC vuông, cùng có cạnh huyền BC; trung điểm O của BC thỏa $OB=OC=OE=OF=\frac{BC}{2}$.BVì E và F là chân đường cao nên $BE=CF$, suy ra bốn điểm cách đều nhau.CVì O là trung điểm BC nên O cũng là trung điểm EF.DHai góc tại E và F bằng nhau nên mọi điểm B, C, E, F nằm trên đường tròn tâm B.

Dùng tổng hai góc đối

Tứ giác ABCD nội tiếp có $\widehat A=2\widehat C$. Số đo hai góc A và C lần lượt là:

A$60^\circ$ và $120^\circ$B$90^\circ$ và $45^\circ$C$100^\circ$ và $80^\circ$D$120^\circ$ và $60^\circ$

Kiến thức cần nhớ

Muốn chứng minh một tứ giác nội tiếp, có thể tìm một điểm cách đều bốn đỉnh. Trong tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối bằng $180^\circ$. Mọi hình chữ nhật và hình vuông đều nội tiếp được một đường tròn có tâm là giao điểm hai đường chéo.