Đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác
Muốn dựng một đường tròn đi qua ba đỉnh $A,B,C$ của tam giác, cần tìm một điểm $O$ sao cho $OA=OB=OC$. Giao điểm các đường trung trực của tam giác là điểm có tính chất đó.
Tâm là giao điểm các đường trung trực
Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn đi qua ba đỉnh. Tâm O là giao điểm ba đường trung trực; bán kính R=OA=OB=OC.
Thật vậy, O trên trung trực AB nên OA=OB; trên trung trực AC nên OA=OC. Vẽ hai đường trung trực là đủ tìm O, rồi mở compa bằng OA để vẽ đường tròn. Tâm không nhất thiết nằm trong tam giác.
Tam giác vuông có tâm dễ tìm
Tam giác ABC vuông tại A, AB=6 cm, AC=8 cm. Cạnh huyền BC=10 cm theo Pythagore. Trung điểm O của BC thỏa OA=OB=OC=5 cm do trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền. Vậy tâm ngoại tiếp là O, bán kính 5 cm.
Tam giác đều
Tam giác đều cạnh a có các đường trung tuyến đồng thời là trung trực. Tâm ngoại tiếp trùng trọng tâm G. Đường cao $h=\sqrt{a^2-(a/2)^2}=a\sqrt3/2$. Vì trọng tâm chia trung tuyến theo tỉ số 2:1 tính từ đỉnh:
$$R=\frac23h=\frac{a\sqrt3}{3}.$$
Công thức này dành cho tam giác đều, không áp dụng cho mọi tam giác.
Tính bán kính ngoại tiếp và độ dài cạnh
Tam giác đều cạnh $9$ cm có
$$R=\frac{9\sqrt3}{3}=3\sqrt3\text{ cm}.$$
Ngược lại, nếu $R=4$ cm thì từ $R=\dfrac{a\sqrt3}{3}$, ta suy ra
$$a=R\sqrt3=4\sqrt3\text{ cm}.$$
Chứng minh bằng đường trung trực
Hai đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại O. Lập luận nào chứng minh đường tròn tâm O đi qua cả A, B, C?
Đúng. Mỗi đẳng thức khoảng cách đều có căn cứ từ một đường trung trực.
Đường trung trực không nhất thiết đi qua một cạnh khác hoặc làm O nằm trên cạnh tam giác.
Giao điểm hai đường trung trực không phải là trung điểm của cả hai cạnh.
Đẳng thức $OA=OB$ chưa cung cấp thông tin về khoảng cách OC.
Lời giải
Vì O thuộc đường trung trực của AB nên $OA=OB$. Vì O thuộc đường trung trực của AC nên $OA=OC$. Suy ra
$$OA=OB=OC.$$
Do đó B và C cùng thuộc đường tròn tâm O, bán kính OA; đường tròn này đi qua cả ba đỉnh. Chọn A.
Tâm và bán kính ngoại tiếp tam giác vuông
Một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông dài 5 cm và 12 cm. Tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp được xác định thế nào?
Tâm ngoại tiếp của tam giác vuông nằm tại trung điểm cạnh huyền, không phải đỉnh góc vuông.
Trung điểm một cạnh góc vuông không cách đều ba đỉnh.
Giao điểm ba đường cao là trực tâm, không phải tâm ngoại tiếp trong trường hợp này.
Đúng. Trung điểm cạnh huyền cách đều cả ba đỉnh.
Lời giải
Theo định lí Pythagore, cạnh huyền dài
$$\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13\text{ cm}.$$
Trong tam giác vuông, tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm cạnh huyền và bán kính bằng nửa cạnh huyền. Vì vậy $R=13:2=6{,}5$ cm. Chọn D.
Kiến thức cần nhớ
Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác. Tâm ngoại tiếp là giao điểm các đường trung trực. Với tam giác vuông, tâm là trung điểm cạnh huyền và bán kính bằng nửa cạnh huyền. Với tam giác đều cạnh $a$, tâm là trọng tâm và bán kính bằng $\dfrac{a\sqrt3}{3}$.
Đang học