Từ số đo cung đến độ dài và diện tích
Trên cùng một đường tròn, độ dài cung tỉ lệ với số đo của cung. Vì cung $90^\circ$ chiếm $\dfrac14$ đường tròn nên độ dài của nó bằng $\dfrac14$ chu vi. Tương tự, hình quạt ứng với cung $90^\circ$ có diện tích bằng $\dfrac14$ diện tích hình tròn.
Độ dài cung và diện tích hình quạt
Với bán kính R, cung có số đo n°:
$$l=\frac n{360}\cdot2\pi R=\frac{n\pi R}{180}.$$
Hình quạt giới hạn bởi cung đó và hai bán kính có diện tích:
$$S=\frac{n\pi R^2}{360}=\frac{lR}{2}.$$
n ở đây là số đo bằng độ. Chu vi hình quạt gồm cung và hai bán kính, bằng l+2R; không chỉ là l.
Tính cả độ dài và diện tích
Bán kính 6 cm, góc ở tâm 120°. Cung tương ứng dài $120\pi\cdot6/180=4\pi$ cm. Hình quạt có diện tích $120\pi\cdot36/360=12\pi$ cm². Chu vi hình quạt bằng $4\pi+12$ cm.
Giữ π để có kết quả chính xác; chỉ lấy số gần đúng khi đề yêu cầu.
Vành khuyên là hiệu hai hình tròn
Hai đường tròn đồng tâm có bán kính R>r>0 tạo thành hình vành khuyên. Diện tích là $\pi R^2-\pi r^2=\pi(R^2-r^2)$.
Ví dụ R=7 cm, r=4 cm cho diện tích 33π cm². Không dùng π(R-r)²: bề rộng vành khuyên không phải bán kính của một hình tròn có cùng diện tích.
Diện tích giới hạn bởi cung và dây
Trong đường tròn bán kính 4 cm, góc AOB=90°. Phần nằm giữa cung nhỏ AB và dây AB bằng diện tích quạt AOB trừ diện tích tam giác OAB.
Quạt có diện tích 4π cm². Tam giác OAB vuông tại O, diện tích bằng $4\cdot4/2=8$ cm². Vậy phần cần tìm có diện tích $4\pi-8$ cm².
Tính độ dài cung và diện tích quạt
Đường tròn bán kính 9 cm có cung $80^\circ$. Độ dài cung và diện tích hình quạt tương ứng lần lượt là:
Độ dài cung đã bị tính gấp đôi.
Diện tích hình quạt phải dùng $R^2=81$, không chỉ dùng R.
Đã đổi chỗ kết quả độ dài và diện tích, đồng thời sai đơn vị.
Đúng. Độ dài dùng R, còn diện tích dùng $R^2$.
Lời giải
Độ dài cung là
$$l=\frac{80\pi\cdot9}{180}=4\pi\text{ cm}.$$
Diện tích hình quạt là
$$S=\frac{80\pi\cdot9^2}{360}=18\pi\text{ cm}^2.$$
Chọn D.
Bánh xe lăn không trượt
Một bánh xe có đường kính 0,6 m, lăn không trượt 20 vòng. Quãng đường bánh xe đi được là:
Kết quả này mới bằng quãng đường của 10 vòng.
Đúng. Điều kiện không trượt cho phép lấy số vòng nhân với chu vi.
Đã dùng 20 làm độ dài thay vì số vòng quay.
Đã tính chu vi mỗi vòng thành $1{,}2\pi$ m, gấp đôi giá trị đúng.
Lời giải
Mỗi vòng lăn được một quãng đường bằng chu vi bánh xe:
$$C=\pi d=0{,}6\pi\text{ m}.$$
Sau 20 vòng, quãng đường là
$$20\cdot0{,}6\pi=12\pi\text{ m}\approx37{,}7\text{ m}.$$
Chọn B.
Các công thức cần nhớ
Cung $n^\circ$ của đường tròn bán kính $R$ có độ dài $l=\dfrac{n\pi R}{180}$. Hình quạt tương ứng có diện tích $S=\dfrac{n\pi R^2}{360}=\dfrac{lR}{2}$. Vành khuyên tạo bởi hai đường tròn đồng tâm bán kính $R>r$ có diện tích $\pi(R^2-r^2)$.
Đang học