Công thức nghiệm của phương trình bậc hai
Đối với phương trình $ax^2+bx+c=0$ với $a\ne0$, việc đưa vế trái về một bình phương dẫn đến biểu thức $b^2-4ac$. Dấu của biểu thức này cho biết phương trình có hai nghiệm phân biệt, một nghiệm kép hay không có nghiệm thực.
Biệt thức xuất hiện từ đâu?
Với a≠0, chia phương trình cho a rồi thêm cùng một số vào hai vế để được:
$$\left(x+\frac b{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}.$$
Mẫu 4a² dương. Vế trái là bình phương, không âm, nên dấu của b²−4ac quyết định có tìm được x thực hay không. Ta gọi $\Delta=b^2-4ac$ là biệt thức.
Ba trường hợp cần phân biệt
Tính Δ sau khi xác định đúng a,b,c:
| Biệt thức | Kết luận |
|---|---|
| Δ>0 | Hai nghiệm phân biệt $x_1=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}$, $x_2=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}$ |
| Δ=0 | Nghiệm kép $x_1=x_2=-\frac b{2a}$ |
| Δ<0 | Vô nghiệm trong tập số thực |
Nghiệm kép có hai giá trị trùng nhau, nên chỉ có một giá trị x. Không lấy căn bậc hai thực của Δ khi Δ âm.
Trường hợp hai nghiệm phân biệt
Giải 2x²−3x−2=0. Ta có a=2, b=−3, c=−2. Khi đó Δ=(−3)²−4·2·(−2)=9+16=25. Vì Δ>0:
$$x_1=\frac{3+5}{4}=2,\qquad x_2=\frac{3-5}{4}=-\frac12.$$
Tử dùng −b=3, mẫu dùng 2a=4. Cả hai dấu đều cần tính.
Nghiệm kép và vô nghiệm
Với 4x²+4x+1=0, Δ=16−16=0 nên nghiệm kép x=−4/8=−1/2.
Với x²+2x+3=0, Δ=4−12=−8<0 nên phương trình vô nghiệm thực. Kết quả này cũng phù hợp với (x+1)²+2 luôn dương.
Công thức nghiệm thu gọn
Khi viết b=2b′, có thể tính $\Delta'=b'^2-ac$. Nếu Δ′>0, hai nghiệm là $x=\frac{-b'\pm\sqrt{\Delta'}}a$; nếu Δ′=0, nghiệm kép x=−b′/a; nếu Δ′<0, vô nghiệm thực.
Ví dụ 3x²+8x−3=0: b′=4, Δ′=16+9=25, nên x=(−4±5)/3, tức x=1/3 hoặc x=−3. Khi dùng Δ′, mẫu là a; không ghép tử của công thức này với mẫu 2a.
Dùng máy tính để đối chiếu
Chọn chế độ giải phương trình đa thức bậc hai trên máy, nhập lần lượt a,b,c, giữ cả dấu âm và hệ số 0. Tên trình đơn và phím cụ thể tùy loại máy.
Ví dụ 2x²−3x−2=0: nhập 2,−3,−2; kết quả phải là 2 và −1/2. Nếu máy trả số thập phân, phân biệt kết quả gần đúng với dạng chính xác. Khi đề yêu cầu trình bày lời giải, vẫn ghi hệ số, biệt thức và kết luận; màn hình máy chỉ giúp đối chiếu.
Xét số nghiệm thực
Phương trình $x^2-4x+5=0$ có bao nhiêu nghiệm thực?
Đúng. Biệt thức âm nên không có nghiệm trong tập số thực.
Nghiệm kép chỉ xảy ra khi $\Delta=0$.
Hai nghiệm phân biệt cần $\Delta>0$.
Hệ số $x^2$ khác 0 nên phương trình bậc hai này không thể có vô số nghiệm.
Lời giải
Ta có $a=1$, $b=-4$, $c=5$. Biệt thức
$$\Delta=(-4)^2-4\cdot1\cdot5=16-20=-4<0.$$
Vì vậy phương trình không có nghiệm thực. Chọn A.
Giải bằng công thức nghiệm
Tập nghiệm của phương trình $3x^2-2x-2=0$ là:
Tử số phải bắt đầu bằng $-b=2$, nên sau rút gọn phần hữu tỉ là $\frac13$, không phải $-\frac13$.
Đã rút gọn tử nhưng chưa rút gọn đúng mẫu số.
Đúng. Biệt thức bằng 28 và hai nghiệm đã được rút gọn.
Phần chứa căn sau rút gọn đúng nhưng phần hữu tỉ phải là $\frac13$, không phải $\frac23$.
Lời giải
Với $a=3$, $b=-2$, $c=-2$:
$$\Delta=(-2)^2-4\cdot3\cdot(-2)=4+24=28>0.$$
Do đó
$$x=\frac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}
=\frac{2\pm\sqrt{28}}6
=\frac{1\pm\sqrt7}{3}.$$
Vậy tập nghiệm là $\left\{\frac{1-\sqrt7}{3};\frac{1+\sqrt7}{3}\right\}$. Chọn C.
Các bước áp dụng công thức nghiệm
Đưa phương trình về dạng $ax^2+bx+c=0$, xác định đúng các hệ số rồi tính $\Delta=b^2-4ac$. Nếu $\Delta>0$, phương trình có hai nghiệm phân biệt; nếu $\Delta=0$, phương trình có nghiệm kép; nếu $\Delta<0$, phương trình vô nghiệm trong tập số thực. Khi $b=2b'$, có thể dùng công thức nghiệm thu gọn với $\Delta'=b'^2-ac$.
Đang học