Biến đổi và rút gọn căn thức

Với $B\ge0$, ta có $\sqrt{A^2B}=|A|\sqrt B$. Vì $72=6^2\cdot2$, nên $\sqrt{72}=6\sqrt2$. Tương tự $\sqrt{18}=3\sqrt2$ và $\sqrt8=2\sqrt2$. Do đó: $$\sqrt{72}-\sqrt{18}+\sqrt8=5\sqrt2.$$ Ta cộng trừ các hệ số 6-3+2 khi phần căn đã giống nhau.

Với $a\ge0$, $B\ge0$, ta có $a\sqrt B=\sqrt{a^2B}$. Nếu $a<0$ thì giữ dấu âm bên ngoài: $a\sqrt B=-\sqrt{a^2B}$. Ví dụ $4\sqrt3=\sqrt{48}$, còn $-4\sqrt3=-\sqrt{48}$. Nhờ đó so sánh $4\sqrt3$ với $3\sqrt5$: vì 48>45 nên $\sqrt{48}>\sqrt{45}$, suy ra $4\sqrt3>3\sqrt5$.

Ta có $\sqrt{\frac35}=\sqrt{\frac{15}{25}}=\frac{\sqrt{15}}5$. Ở đây, nhân cả tử và mẫu của phân số dưới căn với 5 để mẫu trở thành một bình phương. Giá trị biểu thức không đổi.

Trục căn thức ở mẫu là viết biểu thức dưới dạng không còn căn ở mẫu. Chẳng hạn: $$\frac3{2\sqrt7}=\frac{3\sqrt7}{2\cdot7}=\frac{3\sqrt7}{14}.$$ Ta nhân cả tử và mẫu với √7, là một số khác 0. Với B>0, công thức tương ứng là $\frac A{\sqrt B}=\frac{A\sqrt B}{B}$.

Hai biểu thức $\sqrt5-2$ và $\sqrt5+2$ có tích bằng $5-4=1$. Chúng được gọi là hai biểu thức liên hợp. Nhờ hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: $$\frac1{\sqrt5-2}=\frac{\sqrt5+2}{(\sqrt5-2)(\sqrt5+2)}=\sqrt5+2.$$ Với một mẫu là tổng hoặc hiệu có căn, ta chọn biểu thức liên hợp để tạo hiệu hai bình phương. Trước khi nhân, cần bảo đảm mẫu ban đầu và biểu thức đem nhân khác 0.

Cho $P=\frac{x-4}{\sqrt x-2}$ với x≥0, x≠4. Dùng $x-4=(\sqrt x)^2-2^2=(\sqrt x-2)(\sqrt x+2)$. Do x≠4 nên √x-2≠0, ta rút gọn được $P=\sqrt x+2$. Kết quả vẫn đi kèm x≥0, x≠4. Biểu thức rút gọn có thể tính tại x=4, nhưng P ban đầu không xác định ở đó; không được tự bổ sung giá trị này vào điều kiện.