Từ thể tích khối lập phương đến căn bậc ba
Một khối lập phương có cạnh $a$ cm và thể tích $125\text{ cm}^3$ thì $a^3=125$. Vì $5^3=125$ nên $a=5$ cm. Phép tìm một số khi biết lập phương của nó được gọi là phép khai căn bậc ba.
Mỗi số thực có một căn bậc ba
Căn bậc ba của $a$ là số $x$ thỏa mãn $x^3=a$, kí hiệu $\sqrt[3]{a}$. Mỗi số thực $a$ có duy nhất một căn bậc ba.
Ví dụ $\sqrt[3]{27}=3$, $\sqrt[3]{-27}=-3$ và $\sqrt[3]0=0$. Số âm vẫn có căn bậc ba vì lập phương của số âm là số âm.
Căn bậc ba của một lập phương
Với mọi số thực $a$, $\sqrt[3]{a^3}=a$. Khác với căn bậc hai của một bình phương, ở đây không cần giá trị tuyệt đối.
Chẳng hạn $\sqrt[3]{(-4)^3}=-4$, trong khi $\sqrt{(-4)^2}=4$. Với $A=\sqrt[3]{(x-2)^3}$, ta có $A=x-2$ với mọi số thực $x$.
Tính căn bậc ba của số âm
$\sqrt[3]{-64}$ bằng:
Lập phương 4 bằng 64, sai dấu.
Đúng. Lập phương -4 bằng -64.
Lập phương -8 bằng -512.
Số âm vẫn có căn bậc ba trong tập số thực.
Lời giải
Vì $(-4)^3=-64$, nên $\sqrt[3]{-64}=-4$. Chọn B.
Căn thức bậc ba
Biểu thức $\sqrt[3]A$ là căn thức bậc ba. Chỉ cần $A$ có giá trị thực, không yêu cầu $A\ge0$.
Ví dụ $\sqrt[3]{2x-1}$ xác định với mọi số thực x. Tại x=-3, giá trị là $\sqrt[3]{-7}$, vẫn có nghĩa. Nhưng $\sqrt[3]{\frac1{x-2}}$ vẫn cần x≠2 vì phân thức bên trong không xác định ở x=2. Căn bậc ba không xóa điều kiện sẵn có của biểu thức dưới căn.
Giá trị gần đúng trên máy tính
Chọn chức năng căn bậc ba, nhập 20 để tính $\sqrt[3]{20}\approx2{,}7144\ldots$. Làm tròn đến hàng phần trăm được 2,71.
Có thể kiểm tra mức hợp lí: 2³=8 và 3³=27, nên căn bậc ba của 20 nằm giữa 2 và 3. Phím thao tác tùy máy; chú ý chọn căn bậc ba, không phải căn bậc hai.
Tính tổng hai căn bậc ba
Giá trị của $\sqrt[3]{-125}+\sqrt[3]{0{,}008}$ là:
Tổng phải mang dấu âm vì độ lớn của -5 lớn hơn 0,2.
Phép cộng với 0,2 làm -5 tăng lên, không giảm xuống -5,2.
$\sqrt[3]{0{,}008}=0{,}2$, không phải 0,8.
Đúng. Hai căn lần lượt bằng -5 và 0,2.
Lời giải
Vì $(-5)^3=-125$ và $(0{,}2)^3=0{,}008$ nên
$$\sqrt[3]{-125}=-5,\qquad \sqrt[3]{0{,}008}=0{,}2.$$
Do đó tổng bằng $-5+0{,}2=-4{,}8$. Chọn D.
Tính cạnh và diện tích toàn phần
Một khối lập phương có thể tích $216\text{ cm}^3$. Cạnh và diện tích toàn phần của khối lần lượt là:
Đây mới là diện tích một mặt, chưa phải diện tích của cả sáu mặt.
Đã lấy 36 làm độ dài cạnh; thực ra 36 là diện tích một mặt.
Đúng. Cạnh bằng 6 cm và sáu mặt có tổng diện tích 216 cm².
Đã nhân thêm 6 không đúng sau khi có diện tích toàn phần 216 cm².
Lời giải
Gọi cạnh khối lập phương là $a>0$. Từ $a^3=216$ suy ra
$$a=\sqrt[3]{216}=6\text{ cm}.$$
Diện tích một mặt là $6^2=36\text{ cm}^2$, nên diện tích toàn phần bằng $6\cdot36=216\text{ cm}^2$. Chọn C.
Kiến thức cần nhớ
Mỗi số thực $a$ có duy nhất một căn bậc ba, kí hiệu là $\sqrt[3]a$. Với mọi số thực $A$, căn thức $\sqrt[3]A$ đều xác định và $\sqrt[3]{A^3}=A$. Khác với căn bậc hai, số âm vẫn có căn bậc ba và kết quả cũng là một số âm.
Đang học