Tổng hai lập phương
Với hai biểu thức bất kì $A,B$,
$$\boxed{A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2).}$$
Nhân tử thứ nhất là tổng $A+B$. Trong nhân tử thứ hai, ba hạng tử lần lượt là bình phương thứ nhất, trừ tích hai biểu thức, cộng bình phương thứ hai.
Hiệu hai lập phương
Với hai biểu thức bất kì $A,B$,
$$\boxed{A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2).}$$
Nhân tử thứ nhất là hiệu $A-B$. Trong nhân tử thứ hai, cả ba hạng tử đều mang dấu cộng. Hai công thức có thể ghi nhớ theo quy luật:
- ngoài ngoặc giữ nguyên dấu của tổng hoặc hiệu;
- trong ngoặc, số hạng giữa mang dấu ngược với dấu ngoài.
Ví dụ: viết dưới dạng tích
Phân tích $27x^3+8y^3$ thành nhân tử.
Ta có $27x^3=(3x)^3$ và $8y^3=(2y)^3$. Áp dụng công thức tổng hai lập phương:
$$\begin{aligned}
27x^3+8y^3
&=(3x+2y)\big[(3x)^2-(3x)(2y)+(2y)^2\big]\\
&=(3x+2y)(9x^2-6xy+4y^2).
\end{aligned}$$
Phân biệt hai nhóm công thức
Cần phân biệt:
$$A^3+B^3\quad\text{với}\quad(A+B)^3.$$
Biểu thức thứ nhất chỉ có hai hạng tử và được viết thành một tích. Biểu thức thứ hai là lập phương của một tổng và khi khai triển có bốn hạng tử. Tương tự, $A^3-B^3$ không phải là $(A-B)^3$.
Phân tích hiệu hai lập phương
Phân tích $x^3-64$ thành nhân tử.
Trong nhân tử thứ hai của hiệu hai lập phương, số hạng giữa mang dấu cộng.
Nhân tử thứ nhất phải là $x-4$.
$(x-4)^3$ có bốn hạng tử khi khai triển.
Đúng. Đây là công thức $A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)$.
Lời giải
Vì $64=4^3$, ta có $x^3-64=(x-4)(x^2+4x+16)$. Chọn D.
Nhận dạng tích của tổng hai lập phương
Tích $(2x+3)(4x^2-6x+9)$ bằng
Dấu ngoài là tổng nên kết quả là tổng hai lập phương.
Đúng. $(2x)^3+3^3=8x^3+27$.
Tam thức đi kèm tổng hai lập phương không phải khai triển của $(2x+3)^2$.
Đây là khai triển $(2x+3)^3$, không phải tích đã cho.
Lời giải
Tích có dạng $(A+B)(A^2-AB+B^2)=A^3+B^3$ với $A=2x$, $B=3$. Vì vậy kết quả là $8x^3+27$. Chọn B.
Kiến thức cần nhớ
Hai hằng đẳng thức dùng để chuyển tổng hoặc hiệu hai lập phương thành tích:
$$\begin{aligned}
A^3+B^3&=(A+B)(A^2-AB+B^2),\\
A^3-B^3&=(A-B)(A^2+AB+B^2).
\end{aligned}$$