Tính chất cơ bản của phân thức
Nếu nhân cả tử thức và mẫu thức của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức $0$ thì được một phân thức bằng phân thức đã cho:
$$\frac{A}{B}=\frac{A\cdot M}{B\cdot M}.$$
Nếu tử thức và mẫu thức có nhân tử chung $N$ khác đa thức $0$ thì có thể chia cả tử và mẫu cho $N$:
$$\frac{A\cdot N}{B\cdot N}=\frac{A}{B}.$$
Tính chất này là cơ sở của việc rút gọn và quy đồng mẫu thức.
Rút gọn phân thức
Muốn rút gọn một phân thức, thực hiện theo hai bước:
1. Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử để tìm nhân tử chung.
2. Chia cả tử thức và mẫu thức cho nhân tử chung đó.
Chỉ được giản ước **nhân tử chung**, không được xóa các hạng tử nằm trong một tổng hoặc một hiệu. Chẳng hạn,
$$\frac{x(x+2)}{3(x+2)}=\frac{x}{3},$$
nhưng không thể giản ước chữ $x$ trong $\dfrac{x+2}{x+3}$.
Hai nhân tử đối nhau
Khi tử và mẫu có hai nhân tử đối nhau, cần đưa chúng về cùng một dạng trước khi giản ước. Ta có
$$1-x=-(x-1).$$
Do đó
$$\frac{x-1}{1-x}=\frac{x-1}{-(x-1)}=-1$$
tại những giá trị mà phân thức ban đầu xác định. Dấu trừ không được bỏ quên khi đổi thứ tự hai hạng tử trong một hiệu.
Ví dụ: rút gọn phân thức
Rút gọn
$$P=\frac{x^2-4}{x^2-x-2}.$$
Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử:
$$x^2-4=(x-2)(x+2),$$
$$x^2-x-2=(x-2)(x+1).$$
Vì vậy,
$$P=\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+1)}=\frac{x+2}{x+1}.$$
Phân thức ban đầu xác định khi $x\ne2$ và $x\ne-1$. Dạng rút gọn có cùng giá trị với phân thức ban đầu tại những giá trị đó.
Rút gọn phân thức
Kết quả rút gọn của $\dfrac{x^2-9}{x^2+3x}$ là
Đúng. Đã phân tích và giản ước đúng nhân tử chung $x+3$.
Sau khi giản ước $x+3$, tử thức còn $x-3$.
Mẫu thức sau khi giản ước còn $x$, không phải $x+3$.
Tử thức sau khi giản ước là $x-3$.
Lời giải
Ta có $x^2-9=(x-3)(x+3)$ và $x^2+3x=x(x+3)$. Giản ước nhân tử chung $x+3$ được $\dfrac{x-3}{x}$. Chọn A.
Xử lí hai nhân tử đối nhau
Rút gọn phân thức $\dfrac{2x-2}{1-x}$ được kết quả nào?
Đổi $1-x$ thành $x-1$ phải kèm theo dấu trừ.
Đúng. Hai nhân tử đối nhau tạo ra kết quả $-2$.
Sau khi giản ước, không còn nhân tử $x$.
Sau khi giản ước, không còn nhân tử $x$.
Lời giải
Ta có $2x-2=2(x-1)$ và $1-x=-(x-1)$. Do đó $\dfrac{2x-2}{1-x}=\dfrac{2(x-1)}{-(x-1)}=-2$ tại $x\ne1$. Chọn B.
Kiến thức cần nhớ
Muốn rút gọn phân thức, phân tích tử và mẫu thành nhân tử rồi giản ước nhân tử chung. Không giản ước các hạng tử của một tổng hoặc hiệu. Khi đổi thứ tự trong một hiệu, phải chú ý dấu trừ, chẳng hạn $1-x=-(x-1)$.