Tỉ số của hai đoạn thẳng
Tỉ số của hai đoạn thẳng $AB$ và $CD$ là tỉ số độ dài của chúng:
$$\frac{AB}{CD}.$$
Hai độ dài phải được viết trong **cùng một đơn vị** trước khi lập tỉ số. Chẳng hạn,
$$\frac{25\text{ cm}}{1\text{ m}}
=\frac{25\text{ cm}}{100\text{ cm}}=\frac14.$$
Khi cùng đổi cả hai độ dài sang một đơn vị khác, tỉ số không thay đổi.
Các đoạn thẳng tỉ lệ
Bốn đoạn thẳng $AB,CD,A'B',C'D'$ được gọi là tỉ lệ với nhau nếu
$$\frac{AB}{CD}=\frac{A'B'}{C'D'}.$$
Ví dụ, nếu $AB=2$ cm, $CD=3$ cm, $A'B'=4$ cm và $C'D'=6$ cm thì
$$\frac{AB}{CD}=\frac23=\frac46=\frac{A'B'}{C'D'}.$$
Khi viết tỉ lệ thức, thứ tự các đoạn phải được giữ tương ứng ở hai phân số.
Định lí Thales trong tam giác
Cho tam giác $ABC$, $M\in AB$, $N\in AC$. Nếu $MN\parallel BC$ thì đường thẳng song song tạo ra các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ:
$$\boxed{\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}}$$
$$\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC},\qquad
\frac{MB}{AB}=\frac{NC}{AC}.$$
Trên hai cạnh $AB$ và $AC$, cần ghép đúng vị trí: $AM$ đi với $AN$; $MB$ đi với $NC$; toàn bộ $AB$ đi với toàn bộ $AC$.
Ví dụ: tính một đoạn thẳng
Cho tam giác $ABC$ có $M\in AB$, $N\in AC$ và $MN\parallel BC$. Biết $AM=3$ cm, $MB=2$ cm, $AN=4{,}5$ cm. Tính $NC$.
Theo định lí Thales,
$$\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}.$$
Thay số:
$$\frac32=\frac{4{,}5}{NC}.$$
Suy ra
$$NC=\frac{4{,}5\cdot2}{3}=3\text{ cm}.$$
Vậy $NC=3$ cm.
Tính tỉ số hai đoạn thẳng
Cho $AB=25$ cm và $CD=1$ m. Tỉ số $\dfrac{AB}{CD}$ bằng bao nhiêu?
Đúng. Hai độ dài đã được đổi về cùng đơn vị.
Phải chia $25$ cho $100$, không chia $1$ cho $25$.
Kết quả này xuất hiện khi bỏ qua việc đổi mét sang xentimét.
Không được lập tỉ số từ hai số đo còn khác đơn vị.
Lời giải
Đổi $CD=1$ m $=100$ cm. Khi đó $\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{25}{100}=\dfrac14$. Chọn A.
Vận dụng định lí Thales
Cho tam giác $ABC$ có $M\in AB$, $N\in AC$, $MN\parallel BC$. Biết $AM=4$ cm, $MB=6$ cm và $AN=6$ cm. Độ dài $NC$ bằng bao nhiêu?
Độ dài này do lấy $NC=AM$, không dựa vào tỉ lệ Thales.
Hai đoạn tương ứng không nhất thiết bằng nhau.
Từ $4NC=36$ phải suy ra $NC=9$, không phải $8$.
Đúng. Tỉ lệ đúng là $AM/MB=AN/NC$.
Lời giải
Vì $MN\parallel BC$ nên $\dfrac{AM}{MB}=\dfrac{AN}{NC}$. Do đó $\dfrac46=\dfrac6{NC}$, suy ra $NC=\dfrac{6\cdot6}{4}=9$ cm. Chọn D.
Kiến thức cần nhớ
Trước khi lập tỉ số hai đoạn thẳng, phải đổi các độ dài về cùng đơn vị. Trong tam giác $ABC$, nếu $M\in AB$, $N\in AC$ và $MN\parallel BC$ thì các đoạn ở cùng vị trí trên hai cạnh là những đoạn tương ứng và tạo thành các tỉ lệ thức Thales.