Từ tỉ lệ suy ra song song
Cho tam giác $ABC$, $M\in AB$, $N\in AC$. Nếu
$$\boxed{\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}}$$
thì
$$\boxed{MN\parallel BC.}$$
Đó là định lí Thales đảo. Ngoài đẳng thức trên, có thể dùng một tỉ lệ tương đương như
$$\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC},$$
nhưng các đoạn phải được ghép đúng vị trí trên hai cạnh.
Phân biệt định lí thuận và đảo
Hai định lí sử dụng cùng một hình nhưng đi theo hai chiều khác nhau:
| Điều đã biết | Định lí sử dụng | Điều suy ra |
|---|---|---|
| $MN\parallel BC$ | Thales thuận | Các tỉ lệ đoạn thẳng |
| Một tỉ lệ đúng của các đoạn tương ứng | Thales đảo | $MN\parallel BC$ |
Vì vậy, khi giải bài, cần xác định rõ đề bài cho **song song** hay cho **tỉ lệ** trước khi chọn định lí.
Ví dụ: chứng minh hai đường thẳng song song
Cho tam giác $ABC$, $M\in AB$, $N\in AC$. Biết
$$AM=4\text{ cm},\quad MB=2\text{ cm},\quad
AN=6\text{ cm},\quad NC=3\text{ cm}.$$
Ta có
$$\frac{AM}{MB}=\frac42=2,\qquad
\frac{AN}{NC}=\frac63=2.$$
Vậy
$$\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}.$$
Theo định lí Thales đảo, $MN\parallel BC$.
Điều kiện không được bỏ qua
Một đẳng thức giữa bốn số chưa đủ để kết luận hai đường thẳng song song. Trước khi áp dụng định lí Thales đảo, phải kiểm tra:
1. các điểm đang xét thuộc hai cạnh của cùng một tam giác;
2. các đoạn trong hai tỉ số là những đoạn tương ứng;
3. hai tỉ số thực sự bằng nhau.
Hình vẽ chỉ giúp nhận ra cấu trúc; kết luận song song phải dựa vào các điều kiện trên.
Nhận biết điều kiện của định lí đảo
Trong tam giác $ABC$, $M\in AB$, $N\in AC$. Điều kiện nào sau đây đủ để kết luận $MN\parallel BC$?
$AM$ phải tương ứng với $AN$, không phải $NC$.
Đúng. Đây là giả thiết chuẩn của định lí Thales đảo.
Hai đoạn từ đỉnh bằng nhau không tạo ra tỉ lệ cần thiết với hai cạnh.
Hai đoạn còn lại bằng nhau riêng lẻ chưa đủ để kết luận song song.
Lời giải
Theo định lí Thales đảo, với $M\in AB$, $N\in AC$, đẳng thức $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}$ suy ra $MN\parallel BC$. Chọn B.
Tìm độ dài để hai đường thẳng song song
Cho tam giác $ABC$ có $M\in AB$, $N\in AC$. Biết $AM=5$ cm, $MB=3$ cm, $AN=10$ cm. Để $MN\parallel BC$ thì $NC$ phải bằng bao nhiêu?
Nếu $NC=5$ thì hai tỉ số lần lượt là $5/3$ và $2$, không bằng nhau.
Đúng. Khi đó $5/3=10/6$.
Nếu $NC=8$ thì $10/8\ne5/3$.
Nếu $NC=15$ thì $10/15\ne5/3$.
Lời giải
Muốn $MN\parallel BC$, cần $\dfrac{AM}{MB}=\dfrac{AN}{NC}$. Do đó $\dfrac53=\dfrac{10}{NC}$, suy ra $NC=\dfrac{10\cdot3}{5}=6$ cm. Khi ấy định lí Thales đảo cho $MN\parallel BC$. Chọn B.
Kiến thức cần nhớ
Định lí Thales đảo dùng một tỉ lệ đúng của các đoạn tương ứng để kết luận song song. Trước khi áp dụng, phải kiểm tra vị trí các điểm và thứ tự tương ứng của các đoạn.