Đường trung bình của tam giác

Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác. Trong tam giác $ABC$, nếu $$AM=MB,\qquad AN=NC,$$ thì $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC$ và $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$. Một đoạn thẳng chỉ song song với một cạnh chưa đủ để gọi là đường trung bình; hai đầu mút của nó phải là trung điểm của hai cạnh.

Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy. Nếu $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC$ thì $$\boxed{MN\parallel BC,\qquad MN=\frac12BC.}$$ Hai kết luận được dùng theo mục đích khác nhau: quan hệ song song giúp suy ra các quan hệ góc; quan hệ độ dài giúp tính một cạnh khi biết cạnh kia.

Gọi $P$ là trung điểm của $BC$. Vì $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC$ nên $$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac12.$$ Theo định lí Thales đảo, $MN\parallel BC$, do đó $MN\parallel PB$. Mặt khác, $N,P$ lần lượt là trung điểm của $CA,CB$, nên cũng theo định lí Thales đảo, $NP\parallel AB$, tức là $NP\parallel MB$. Tứ giác $MNPB$ có hai cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành. Vì vậy $$MN=PB=\frac12BC.$$ Như vậy, $MN\parallel BC$ và $MN=\dfrac12BC$.

Trong tam giác, nếu một đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh và song song với cạnh thứ hai thì nó đi qua trung điểm cạnh thứ ba. Cụ thể, trong tam giác $ABC$, nếu $M$ là trung điểm của $AB$ và đường thẳng qua $M$ song song với $BC$ cắt $AC$ tại $N$, thì $N$ là trung điểm của $AC$. Chú ý này thường được dùng để chứng minh một điểm là trung điểm: đã có một trung điểm, chỉ cần chứng minh thêm quan hệ song song thích hợp.