Tính chất đường phân giác của tam giác

Trong tam giác $ABC$, đường phân giác $AD$ của góc $A$ cắt cạnh $BC$ tại $D$. Khi đó, $AD$ chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề tương ứng: $$\boxed{\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}.}$$ Đoạn $DB$ nằm về phía đỉnh $B$ nên tương ứng với cạnh $AB$; đoạn $DC$ nằm về phía đỉnh $C$ nên tương ứng với cạnh $AC$.

Có thể nhớ tính chất theo hai phía của đường phân giác: $$\frac{\text{đoạn đáy phía }B}{\text{đoạn đáy phía }C} = \frac{\text{cạnh kề phía }B}{\text{cạnh kề phía }C}.$$ Do đó, $$\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$$ là đúng, còn $DB/DC=AC/AB$ đã ghép chéo hai phía và nói chung không đúng.

Qua $B$ kẻ đường thẳng song song với $AD$, cắt đường thẳng $AC$ tại $E$. Vì $AD$ là đường phân giác của góc $A$ và $BE\parallel AD$ nên $$\widehat{ABE}=\widehat{BAD} =\widehat{DAC}=\widehat{AEB}.$$ Suy ra tam giác $ABE$ cân tại $A$, do đó $AE=AB$. Trong tam giác $CEB$, có $AD\parallel BE$. Theo định lí Thales, $$\frac{DB}{DC}=\frac{AE}{AC}.$$ Thay $AE=AB$, ta được $$\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}.$$ Đây chính là tính chất đường phân giác của tam giác.

Trong tam giác $ABC$, nếu $D\in BC$ và $$\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC},$$ thì $AD$ là đường phân giác của góc $A$. Chiều đảo được dùng khi đề bài cho một tỉ lệ độ dài và yêu cầu nhận biết đường phân giác. Cũng như định lí Thales đảo, cần kiểm tra đúng vị trí của điểm $D$ và đúng thứ tự các đoạn trong tỉ lệ.