Phân thức đại số

Một **phân thức đại số** là biểu thức có dạng $$\frac{A}{B},$$ trong đó $A$, $B$ là những đa thức và $B$ khác đa thức $0$. Đa thức $A$ gọi là **tử thức**, đa thức $B$ gọi là **mẫu thức**. Ví dụ, $\dfrac{2x-1}{x^2+3}$ và $\dfrac{5}{x-2}$ là các phân thức đại số. Mỗi đa thức cũng là một phân thức có mẫu thức bằng $1$; chẳng hạn $x^2-3x=\dfrac{x^2-3x}{1}$. Biểu thức $\dfrac{x+1}{\sqrt{x}}$ không phải là phân thức đại số theo định nghĩa trên vì $\sqrt{x}$ không phải đa thức.

Với hai phân thức $\dfrac{A}{B}$ và $\dfrac{C}{D}$, ta có $$\frac{A}{B}=\frac{C}{D}\quad\text{khi}\quad AD=BC.$$ Muốn kiểm tra hai phân thức có bằng nhau hay không, hãy nhân tử thức của phân thức này với mẫu thức của phân thức kia rồi so sánh hai tích. Ví dụ, $$\frac{x+1}{x-1}=\frac{x^2-1}{(x-1)^2}$$ vì $(x+1)(x-1)^2=(x-1)(x^2-1)$. Hai vế đều được xét tại những giá trị làm các mẫu thức khác $0$.

Giá trị của phân thức $\dfrac{A}{B}$ chỉ được xác định tại những giá trị của biến làm $B\ne0$. Vì vậy, trước khi thay số để tính giá trị, cần thực hiện hai bước: 1. Tìm điều kiện để mẫu thức khác $0$. 2. Kiểm tra giá trị cần thay có thỏa mãn điều kiện đó hay không. Chẳng hạn, phân thức $\dfrac{2x+1}{x-3}$ xác định khi $x\ne3$. Không thể tính giá trị của phân thức này tại $x=3$.