Lập phương của một tổng
Với hai biểu thức bất kì $A,B$,
$$\boxed{(A+B)^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3.}$$
Bốn hạng tử có hệ số lần lượt là $1,3,3,1$. Số mũ của $A$ giảm dần từ $3$ xuống $0$, còn số mũ của $B$ tăng dần từ $0$ lên $3$.
Lập phương của một hiệu
Với hai biểu thức bất kì $A,B$,
$$\boxed{(A-B)^3=A^3-3A^2B+3AB^2-B^3.}$$
Các dấu xen kẽ $+,-,+,-$. Có thể xem $A-B=A+(-B)$ rồi áp dụng công thức lập phương của một tổng. Khi đó, hạng tử chứa $B$ với số mũ lẻ mang dấu âm; hạng tử chứa $B^2$ mang dấu dương.
Ví dụ: khai triển một lập phương
Khai triển $(2x-y)^3$.
Chọn $A=2x$, $B=y$. Ta có
$$\begin{aligned}
(2x-y)^3
&=(2x)^3-3(2x)^2y+3(2x)y^2-y^3\\
&=8x^3-12x^2y+6xy^2-y^3.
\end{aligned}$$
Mỗi tích cần được tính đủ cả hệ số và số mũ.
Ví dụ: nhận dạng theo chiều ngược
Đa thức $x^3+9x^2+27x+27$ có:
$$9x^2=3x^2\cdot3,\qquad 27x=3x\cdot3^2,\qquad 27=3^3.$$
Vì vậy,
$$x^3+9x^2+27x+27=(x+3)^3.$$
Việc chỉ nhìn hai hạng tử đầu và cuối là chưa đủ; hai hạng tử giữa cũng phải khớp công thức.
Khai triển lập phương của một tổng
Khai triển $(x+2)^3$ được kết quả nào?
Số hạng $3x\cdot2^2$ bằng $12x$, không phải $6x$.
Số hạng $3x^2\cdot2$ bằng $6x^2$.
Đúng. Bốn hạng tử có hệ số tương ứng $1,6,12,8$.
Phương án này bỏ hai hạng tử giữa.
Lời giải
Ta có $(x+2)^3=x^3+3x^2\cdot2+3x\cdot2^2+2^3=x^3+6x^2+12x+8$. Chọn C.
Nhận dạng lập phương của một hiệu
Đa thức $8x^3-36x^2y+54xy^2-27y^3$ bằng
Đúng. Cả bốn hạng tử khớp công thức lập phương của một hiệu.
Các số hạng thứ hai và thứ tư sẽ mang dấu dương nếu là tổng.
Phải lấy căn bậc ba của hai hạng tử đầu và cuối.
$(4x)^3=64x^3$, không phải $8x^3$.
Lời giải
Với $A=2x$, $B=3y$, ta có $A^3=8x^3$, $-3A^2B=-36x^2y$, $3AB^2=54xy^2$ và $-B^3=-27y^3$. Do đó đa thức bằng $(2x-3y)^3$. Chọn A.
Kiến thức cần nhớ
Lập phương của một tổng có bốn dấu cộng. Lập phương của một hiệu có các dấu xen kẽ:
$$\begin{aligned}
(A+B)^3&=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3,\\
(A-B)^3&=A^3-3A^2B+3AB^2-B^3.
\end{aligned}$$