Khi nào $y$ là hàm số của $x$?
Nếu đại lượng $y$ phụ thuộc vào đại lượng thay đổi $x$ sao cho với **mỗi giá trị của $x$**, ta luôn xác định được **chỉ một giá trị tương ứng của $y$**, thì $y$ được gọi là **hàm số** của $x$ và $x$ được gọi là biến số.
Điều cần kiểm tra là tính duy nhất: một giá trị của $x$ không được ứng với hai giá trị khác nhau của $y$. Hai giá trị $x$ khác nhau vẫn có thể cho cùng một giá trị $y$.
Kí hiệu và giá trị của hàm số
Hàm số thường được kí hiệu là
$$y=f(x).$$
Nếu $f(x)=2x-3$ thì giá trị của hàm số tại $x=4$ là
$$f(4)=2\cdot4-3=5.$$
Hàm số có thể được cho bằng công thức, bằng bảng hoặc bằng đồ thị. Khi hàm số được cho bằng công thức, muốn tìm giá trị tương ứng của $y$, thay giá trị của $x$ vào công thức rồi thực hiện phép tính.
Nhận biết hàm số qua bảng
Khi quan hệ được cho bằng bảng, đọc từng cột như một cặp giá trị $(x;y)$.
| $x$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
|---:|---:|---:|---:|---:|
| $y$ | $3$ | $1$ | $3$ | $5$ |
Bảng này biểu diễn $y$ là hàm số của $x$ vì mỗi giá trị của $x$ chỉ xuất hiện với một giá trị $y$. Việc $x=-1$ và $x=1$ đều cho $y=3$ không làm mất tính chất hàm số.
Trái lại, nếu cùng $x=2$ xuất hiện một lần với $y=4$ và một lần với $y=7$, bảng đó không biểu diễn $y$ là hàm số của $x$.
Ví dụ: tính giá trị hàm số
Cho hàm số $y=f(x)=x^2-2x$.
Tại $x=-1$:
$$f(-1)=(-1)^2-2(-1)=1+2=3.$$
Tại $x=3$:
$$f(3)=3^2-2\cdot3=9-6=3.$$
Hai giá trị khác nhau của $x$ có thể cho cùng một giá trị của hàm số.
Tính giá trị hàm số
Cho $f(x)=2x-3$. Giá trị $f(4)$ bằng
Cần nhân $2$ với $4$ trước khi trừ $3$.
Đúng. $f(4)=8-3=5$.
Đây mới là giá trị $2\cdot4$, chưa trừ $3$.
Đã thực hiện nhầm phép trừ thành phép cộng.
Lời giải
Thay $x=4$ vào công thức: $f(4)=2\cdot4-3=8-3=5$. Chọn B.
Nhận biết hàm số qua bảng
Bảng nào sau đây biểu diễn $y$ là hàm số của $x$?
$x=1$ ứng với cả $y=2$ và $y=3$.
Đúng. Mỗi giá trị của $x$ xác định đúng một giá trị $y$.
$x=0$ ứng với cả $y=-1$ và $y=1$.
$x=2$ ứng với cả $y=4$ và $y=6$.
Lời giải
Ở phương án B, mỗi giá trị của $x$ chỉ ứng với một giá trị của $y$. Việc cả ba giá trị của $x$ đều cho $y=2$ vẫn thỏa mãn định nghĩa. Các bảng còn lại có cùng một giá trị $x$ ứng với hai giá trị $y$ khác nhau. Chọn B.
Kiến thức cần nhớ
Đại lượng $y$ là hàm số của $x$ nếu mỗi giá trị của $x$ xác định đúng một giá trị tương ứng của $y$. Với $y=f(x)$, giá trị $f(x_0)$ được tìm bằng cách thay $x=x_0$ vào công thức nếu hàm số được cho bằng công thức.