Định nghĩa và tính chất chung
Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau:
$$AB=BC=CD=DA.$$
Vì hình thoi có hai cặp cạnh đối bằng nhau nên nó là hình bình hành. Do đó, hình thoi có các tính chất của hình bình hành:
- các cạnh đối song song;
- các góc đối bằng nhau, hai góc kề nhau bù nhau;
- hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Tính chất đặc trưng của hai đường chéo
Trong hình thoi:
- hai đường chéo vuông góc với nhau;
- mỗi đường chéo là đường phân giác của một cặp góc đối;
- hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Với hình thoi $ABCD$, hai đường chéo cắt nhau tại $O$, ta có
$$AC\perp BD,\qquad OA=OC,\qquad OB=OD.$$
Đường chéo $AC$ chia đôi các góc $A,C$; đường chéo $BD$ chia đôi các góc $B,D$.
Dấu hiệu nhận biết
Một hình bình hành là hình thoi nếu thỏa mãn một trong các điều kiện:
1. có hai cạnh kề bằng nhau;
2. có hai đường chéo vuông góc với nhau;
3. có một đường chéo là đường phân giác của một góc.
Các dấu hiệu đều bắt đầu từ **hình bình hành**. Nếu đề bài chỉ cho một tứ giác, cần chứng minh tứ giác đó là hình bình hành trước, hoặc dùng trực tiếp định nghĩa bốn cạnh bằng nhau.
Ví dụ: dùng đường chéo là phân giác
Cho hình thoi $ABCD$ có $\widehat A=64^\circ$. Đường chéo $AC$ là phân giác của $\widehat A$, nên
$$\widehat{BAC}=\widehat{CAD}
=\frac{64^\circ}{2}=32^\circ.$$
Hai góc kề nhau của hình thoi bù nhau, do đó
$$\widehat B=180^\circ-64^\circ=116^\circ.$$
Đường chéo $BD$ chia đôi $\widehat B$, nên $\widehat{ABD}=58^\circ$.
Nhận biết hình thoi
Cho hình bình hành $MNPQ$. Điều kiện nào sau đây đủ để kết luận $MNPQ$ là hình thoi?
Hai đường chéo bằng nhau là dấu hiệu của hình chữ nhật.
Đúng. Đây là dấu hiệu nhận biết hình thoi.
Hai góc đối bằng nhau vốn là tính chất của mọi hình bình hành.
Hai cạnh đối song song vốn có trong định nghĩa hình bình hành.
Lời giải
Trong hình bình hành $MNPQ$, $MP$ và $NQ$ là hai đường chéo. Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc là hình thoi. Chọn B.
Vận dụng tính chất phân giác
Cho hình thoi $ABCD$ có $\widehat DAB=78^\circ$. Số đo $\widehat DAC$ bằng bao nhiêu?
Đúng. Đường chéo chia góc $DAB$ thành hai góc bằng nhau.
Đây là số đo cả góc $DAB$.
Đây là góc bù với $78^\circ$, không phải nửa góc.
Không nhân đôi góc đã cho.
Lời giải
Đường chéo $AC$ là phân giác của góc $DAB$, nên $\widehat DAC=\dfrac{78^\circ}{2}=39^\circ$. Chọn A.
Kiến thức cần nhớ
Hình thoi là hình bình hành có bốn cạnh bằng nhau. Hai đường chéo vuông góc, chia đôi nhau và là các đường phân giác. Khi dùng dấu hiệu nhận biết theo đường chéo hoặc cạnh kề, cần có điều kiện hình bình hành.