Hình vuông trong họ các tứ giác đặc biệt
Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau.
Vì có bốn góc vuông, hình vuông là hình chữ nhật. Vì có bốn cạnh bằng nhau, hình vuông là hình thoi. Do đó, hình vuông có tất cả tính chất của hình chữ nhật và hình thoi.
Chiều ngược lại không luôn đúng: một hình chữ nhật có thể không phải hình vuông nếu hai cạnh kề không bằng nhau; một hình thoi có thể không phải hình vuông nếu các góc không vuông.
Tính chất hai đường chéo
Hai đường chéo của hình vuông:
- bằng nhau;
- vuông góc với nhau;
- cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường;
- là các đường phân giác của các góc.
Nếu hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O$, thì
$$AC=BD,\quad AC\perp BD,\quad
OA=OB=OC=OD.$$
Mỗi góc của hình vuông bằng $90^\circ$, nên mỗi đường chéo chia góc tại đỉnh thành hai góc $45^\circ$.
Dấu hiệu nhận biết
Có thể nhận biết hình vuông theo hai hướng.
**Từ hình chữ nhật:**
1. có hai cạnh kề bằng nhau;
2. có hai đường chéo vuông góc;
3. có một đường chéo là phân giác của một góc.
**Từ hình thoi:**
4. có một góc vuông;
5. có hai đường chéo bằng nhau.
Khi trình bày, cần xác định hình ban đầu là hình chữ nhật hay hình thoi rồi mới dùng điều kiện bổ sung.
Ví dụ: nhận biết hình vuông
Cho hình chữ nhật $ABCD$ có hai đường chéo vuông góc với nhau.
Vì $ABCD$ đã là hình chữ nhật và có thêm điều kiện $AC\perp BD$, theo dấu hiệu nhận biết, $ABCD$ là hình vuông.
Cũng có thể lập luận theo hai bước: hình bình hành có hai đường chéo vuông góc là hình thoi; $ABCD$ vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi nên là hình vuông.
Nhận biết hình vuông từ hình thoi
Cho hình thoi $ABCD$. Điều kiện nào sau đây đủ để kết luận $ABCD$ là hình vuông?
Hai cạnh kề bằng nhau vốn có trong mọi hình thoi.
Hai đường chéo vuông góc vốn là tính chất của mọi hình thoi.
Đúng. Đây là dấu hiệu nhận biết hình vuông từ hình thoi.
Đường chéo phân giác một góc vốn là tính chất của mọi hình thoi.
Lời giải
Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông, nên điều kiện $AC=BD$ là đủ. Chọn C.
Vận dụng tính chất đường chéo
Trong hình vuông $MNPQ$, số đo góc $NMP$ bằng bao nhiêu?
Đường chéo chia góc vuông thành hai phần bằng nhau, không phải ba phần.
Đúng. $90^\circ:2=45^\circ$.
Đây không phải góc của tam giác đều.
Đây là số đo cả góc tại đỉnh $M$.
Lời giải
Góc $NMQ$ của hình vuông bằng $90^\circ$. Đường chéo $MP$ là phân giác của góc này, nên $\widehat{NMP}=45^\circ$. Chọn B.
Kiến thức cần nhớ
Hình vuông vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi. Vì thế, hai đường chéo của hình vuông bằng nhau, vuông góc, chia đôi nhau và là các đường phân giác. Dấu hiệu nhận biết luôn gồm một loại hình ban đầu và một điều kiện bổ sung.