Hai tam giác đồng dạng
Hai tam giác được gọi là **đồng dạng** nếu các góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tương ứng tỉ lệ.
Nếu
$$\widehat{A'}=\widehat A,\quad \widehat{B'}=\widehat B,\quad \widehat{C'}=\widehat C$$
và
$$\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{A'C'}{AC}=k,$$
thì $\triangle A'B'C'\sim\triangle ABC$. Số $k$ được gọi là **tỉ số đồng dạng** của $\triangle A'B'C'$ đối với $\triangle ABC$.
Thứ tự chữ cái trong kí hiệu cho biết các đỉnh tương ứng:
$$A'\leftrightarrow A,\qquad B'\leftrightarrow B,\qquad C'\leftrightarrow C.$$
Vì vậy, cần xác định các đỉnh tương ứng trước khi viết các tỉ số cạnh.
Một số tính chất
Mỗi tam giác đồng dạng với chính nó theo tỉ số $1$. Hai tam giác bằng nhau cũng là hai tam giác đồng dạng theo tỉ số $1$.
Nếu $\triangle A'B'C'\sim\triangle ABC$ theo tỉ số $k$ thì $\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'$ theo tỉ số $\dfrac1k$.
Nếu $\triangle A'B'C'\sim\triangle ABC$ theo tỉ số $k$ và $\triangle ABC\sim\triangle MNP$ theo tỉ số $h$ thì $\triangle A'B'C'\sim\triangle MNP$ theo tỉ số $kh$.
Tam giác tạo bởi đường thẳng song song
Trong tam giác $ABC$, nếu $M\in AB$, $N\in AC$ và $MN\parallel BC$ thì
$$\triangle AMN\sim\triangle ABC.$$
Thật vậy, các góc đồng vị bằng nhau:
$$\widehat{AMN}=\widehat{ABC},\qquad \widehat{ANM}=\widehat{ACB},$$
còn góc $A$ là góc chung. Theo định lí Thales, các cạnh tương ứng cũng tỉ lệ:
$$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}.$$
Kết quả vẫn đúng khi đường thẳng song song cắt phần kéo dài của hai cạnh.
Ví dụ: tính chiều cao nhờ bóng nắng
Cùng một thời điểm, một cọc thẳng cao $1{,}5$ m có bóng dài $2$ m. Bóng của một cây thẳng đứng dài $8$ m. Tính chiều cao của cây.
Các tia nắng được coi là song song nên tam giác tạo bởi cây và bóng của cây đồng dạng với tam giác tạo bởi cọc và bóng của cọc.
Gọi chiều cao của cây là $h$ (m). Ta có
$$\frac{h}{1{,}5}=\frac{8}{2}=4.$$
Suy ra $h=1{,}5\cdot4=6$.
Vậy cây cao $6$ m.
Xác định cạnh tương ứng
Cho $\triangle ABC\sim\triangle MNP$. Biết $AB=6$ cm, $MN=9$ cm và $BC=8$ cm. Độ dài $NP$ bằng
Chưa dùng đúng tỉ số của hai cạnh tương ứng.
Đúng. Tỉ số từ tam giác $ABC$ sang tam giác $MNP$ là $9:6=3:2$.
Kết quả này lấy $9\cdot\dfrac32$ thay vì nhân độ dài cạnh tương ứng $BC=8$.
Kết quả này không giữ cùng một chiều tỉ số.
Lời giải
Từ $\triangle ABC\sim\triangle MNP$ suy ra $AB\leftrightarrow MN$ và $BC\leftrightarrow NP$. Do đó
$$\frac{NP}{BC}=\frac{MN}{AB}=\frac96=\frac32.$$
Vậy $NP=8\cdot\dfrac32=12$ cm. Chọn B.
Dùng đường thẳng song song
Trong $\triangle ABC$, $M\in AB$, $N\in AC$ và $MN\parallel BC$. Biết $AM=3$ cm, $AB=5$ cm, $BC=10$ cm. Độ dài $MN$ là
Đây là độ dài $AB$, không phải $MN$.
Đúng. Cạnh $MN$ bằng $3:5$ cạnh tương ứng $BC$.
Tỉ số $AM:AB$ đã bị đảo.
Chưa lập đúng tỉ số của hai cặp cạnh tương ứng.
Lời giải
Vì $MN\parallel BC$ nên $\triangle AMN\sim\triangle ABC$. Do đó
$$\frac{MN}{BC}=\frac{AM}{AB}=\frac35.$$
Suy ra $MN=10\cdot\dfrac35=6$ cm. Chọn B.
Kiến thức cần nhớ
Hai tam giác đồng dạng có các góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tương ứng tỉ lệ. Thứ tự đỉnh trong kí hiệu đồng dạng quyết định cách ghép các yếu tố tương ứng. Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì tam giác nhỏ đồng dạng với tam giác ban đầu.