Ba trường hợp đồng dạng
Không cần kiểm tra đồng thời cả ba cặp góc và ba cặp cạnh. Có thể dùng một trong ba trường hợp sau.
**Cạnh – cạnh – cạnh (c.c.c).** Nếu ba cặp cạnh tương ứng tỉ lệ thì hai tam giác đồng dạng.
**Cạnh – góc – cạnh (c.g.c).** Nếu hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ và hai góc xen giữa các cặp cạnh ấy bằng nhau thì hai tam giác đồng dạng.
**Góc – góc (g.g).** Nếu hai cặp góc tương ứng bằng nhau thì hai tam giác đồng dạng. Khi đó cặp góc còn lại cũng bằng nhau vì tổng ba góc của mỗi tam giác bằng $180^\circ$.
Chú ý góc xen giữa
Trong trường hợp cạnh–góc–cạnh, góc bằng nhau phải nằm giữa hai cạnh dùng để lập tỉ số.
Chẳng hạn, nếu đang so sánh $AB$ với $A'B'$ và $AC$ với $A'C'$ thì góc cần xét là $\widehat A$ và $\widehat{A'}$. Chỉ biết một cặp góc khác bằng nhau chưa đủ để áp dụng trường hợp cạnh–góc–cạnh.
Các trường hợp đồng dạng khác với các trường hợp bằng nhau: ở đây các cạnh tương ứng **tỉ lệ**, không nhất thiết bằng nhau.
Cách trình bày lời giải
Một lời giải chứng minh đồng dạng thường gồm ba bước:
1. Chọn hai tam giác cần xét và xác định các đỉnh dự kiến tương ứng.
2. Chỉ ra đủ điều kiện của một trường hợp đồng dạng.
3. Kết luận đồng dạng theo đúng thứ tự đỉnh; sau đó mới suy ra các góc bằng nhau hoặc các cạnh tỉ lệ.
Nếu hình có các đường song song, góc đối đỉnh, góc chung hoặc tổng ba góc, nên ghi rõ căn cứ tạo ra các góc bằng nhau.
Ví dụ: chứng minh theo trường hợp cạnh–góc–cạnh
Cho hai tam giác $ABC$ và $MNP$ có $AB=6$ cm, $AC=9$ cm, $MN=8$ cm, $MP=12$ cm và $\widehat A=\widehat M$.
Ta có
$$\frac{AB}{MN}=\frac68=\frac34,\qquad
\frac{AC}{MP}=\frac9{12}=\frac34.$$
Hai cặp cạnh trên tạo nên các góc $A$ và $M$. Vì $\widehat A=\widehat M$ nên
$$\triangle ABC\sim\triangle MNP\quad\text{(c.g.c).}$$
Thứ tự đỉnh là $A\leftrightarrow M$, $B\leftrightarrow N$, $C\leftrightarrow P$.
Nhận biết trường hợp cạnh–cạnh–cạnh
Tam giác $ABC$ có $AB=4$, $BC=6$, $CA=8$. Tam giác $MNP$ có $MN=6$, $NP=9$, $PM=12$. Kết luận đúng là
Đúng. Ba tỉ số cạnh tương ứng đều bằng $2:3$.
Thứ tự $M,P,N$ ghép $AB$ với $MP$, không đúng với các tỉ số đã cho.
Đồng dạng chỉ yêu cầu các cạnh tương ứng tỉ lệ, không yêu cầu bằng nhau.
Ba cặp cạnh tương ứng tỉ lệ đã đủ để kết luận.
Lời giải
Ta có
$$\frac{AB}{MN}=\frac46=\frac23,\quad
\frac{BC}{NP}=\frac69=\frac23,\quad
\frac{CA}{PM}=\frac8{12}=\frac23.$$
Ba cặp cạnh tương ứng tỉ lệ, với $A\leftrightarrow M$, $B\leftrightarrow N$, $C\leftrightarrow P$. Do đó $\triangle ABC\sim\triangle MNP$ theo trường hợp c.c.c. Chọn A.
Kiểm tra góc xen giữa
Biết $\dfrac{AB}{MN}=\dfrac{AC}{MP}$. Cần thêm điều kiện nào để có thể kết luận $\triangle ABC\sim\triangle MNP$ theo trường hợp c.g.c?
Góc $B$ không xen giữa hai cạnh $AB$ và $AC$.
Góc $C$ không xen giữa hai cạnh $AB$ và $AC$.
Đúng. Đây là hai góc xen giữa hai cặp cạnh đã lập tỉ số.
Hai góc này vừa không đúng vị trí xen giữa vừa không phải cặp đỉnh tương ứng dự kiến.
Lời giải
Hai cạnh $AB,AC$ tạo nên góc $A$; hai cạnh tương ứng $MN,MP$ tạo nên góc $M$. Vì vậy góc xen giữa cần bằng nhau là $\widehat A=\widehat M$. Khi đó hai tam giác đồng dạng theo trường hợp c.g.c. Chọn C.
Kiến thức cần nhớ
Ba trường hợp đồng dạng là c.c.c, c.g.c và g.g. Cần ghép đúng các đỉnh tương ứng; riêng trường hợp c.g.c phải dùng hai góc xen giữa hai cặp cạnh đã lập tỉ số.