Cộng, trừ hai phân thức cùng mẫu
Muốn cộng hoặc trừ hai phân thức cùng mẫu thức, cộng hoặc trừ các tử thức và giữ nguyên mẫu thức:
$$\frac{A}{B}+\frac{C}{B}=\frac{A+C}{B},$$
$$\frac{A}{B}-\frac{C}{B}=\frac{A-C}{B}.$$
Sau phép tính, cần thu gọn tử thức và rút gọn phân thức nếu có thể. Khi trừ, nên đặt tử thức thứ hai trong ngoặc để tránh sai dấu.
Cộng, trừ hai phân thức khác mẫu
Khi các mẫu thức khác nhau, thực hiện theo ba bước:
1. Quy đồng mẫu thức.
2. Cộng hoặc trừ các tử thức mới, giữ nguyên mẫu thức chung.
3. Thu gọn kết quả và rút gọn nếu có thể.
Ví dụ,
$$\frac{1}{x}+\frac{2}{x+1}
=\frac{x+1}{x(x+1)}+\frac{2x}{x(x+1)}
=\frac{3x+1}{x(x+1)}.$$
Không được cộng riêng các mẫu thức để viết thành $\dfrac{1+2}{x+(x+1)}$.
Chú ý dấu trừ
Trong biểu thức có nhiều phép cộng, trừ, mỗi phân thức cần được giữ cùng dấu đứng trước nó. Khi bỏ dấu ngoặc có dấu trừ phía trước, phải đổi dấu từng hạng tử trong ngoặc:
$$A-(B-C)=A-B+C.$$
Với hai mẫu thức đối nhau, có thể đưa về cùng mẫu bằng quan hệ
$$2-x=-(x-2).$$
Chẳng hạn, $\dfrac{1}{2-x}=-\dfrac{1}{x-2}$. Dấu trừ này tham gia vào phép tính ở tử thức.
Ví dụ: trừ hai phân thức khác mẫu
Thực hiện phép tính
$$\frac{2}{x-1}-\frac{x+1}{x^2-1}.$$
Ta có $x^2-1=(x-1)(x+1)$. Quy đồng rồi trừ:
$$\begin{aligned}
\frac{2}{x-1}-\frac{x+1}{x^2-1}
&=\frac{2(x+1)}{(x-1)(x+1)}-\frac{x+1}{(x-1)(x+1)}\\
&=\frac{2(x+1)-(x+1)}{(x-1)(x+1)}\\
&=\frac{x+1}{(x-1)(x+1)}=\frac{1}{x-1}.
\end{aligned}$$
Kết quả này có cùng giá trị với biểu thức ban đầu tại những giá trị làm biểu thức ban đầu xác định, tức là $x\ne1$ và $x\ne-1$.
Cộng hai phân thức khác mẫu
Kết quả của $\dfrac{3}{x+1}+\dfrac{2}{x-1}$ là
Không cộng trực tiếp tử với tử và mẫu với mẫu.
Đúng. Đã quy đồng và thu gọn đúng tử thức.
Hằng số ở tử là $-3+2=-1$, không phải $1$.
Tử thức sau quy đồng là $5x-1$.
Lời giải
Mẫu thức chung là $(x+1)(x-1)=x^2-1$. Tử thức mới là $3(x-1)+2(x+1)=3x-3+2x+2=5x-1$. Vậy kết quả là $\dfrac{5x-1}{x^2-1}$. Chọn B.
Trừ hai phân thức có mẫu đối nhau
Rút gọn $\dfrac{x}{x-2}-\dfrac{2}{2-x}$ được
Hai phân thức không triệt tiêu nhau.
Dấu trừ trước phân thức có mẫu đối nhau đã được xử lí chưa đúng.
Đúng. Hai dấu trừ tạo thành dấu cộng ở tử thức.
Mẫu thức chung vẫn là $x-2$.
Lời giải
Vì $2-x=-(x-2)$ nên $\dfrac{2}{2-x}=-\dfrac{2}{x-2}$. Do đó $\dfrac{x}{x-2}-\left(-\dfrac{2}{x-2}\right)=\dfrac{x+2}{x-2}$. Chọn C.
Kiến thức cần nhớ
Với các phân thức cùng mẫu, cộng hoặc trừ các tử và giữ nguyên mẫu. Với các phân thức khác mẫu, phải quy đồng trước. Luôn đặt tử thức bị trừ trong ngoặc, đổi đúng dấu khi bỏ ngoặc và rút gọn kết quả nếu có thể.