Nhân hai phân thức
Muốn nhân hai phân thức, nhân các tử thức với nhau và nhân các mẫu thức với nhau:
$$\frac{A}{B}\cdot\frac{C}{D}=\frac{AC}{BD}.$$
Để phép tính gọn hơn, nên phân tích các tử thức và mẫu thức thành nhân tử, giản ước các nhân tử chung rồi mới nhân phần còn lại. Không cần khai triển sớm những tích có thể giản ước.
Chia hai phân thức
Muốn chia phân thức $\dfrac{A}{B}$ cho phân thức $\dfrac{C}{D}$ khác $0$, giữ nguyên phân thức thứ nhất, đảo tử và mẫu của phân thức thứ hai rồi thực hiện phép nhân:
$$\frac{A}{B}:\frac{C}{D}=\frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}=\frac{AD}{BC}.$$
Phân thức dùng làm số chia phải khác $0$. Vì vậy, ngoài việc các mẫu thức phải khác $0$, tử thức $C$ của số chia cũng không được nhận giá trị $0$ trong phép tính đang xét.
Thứ tự thực hiện phép tính
Trong biểu thức chỉ có phép nhân và phép chia, thực hiện từ trái sang phải nếu không có dấu ngoặc. Phép chia không có tính kết hợp; nói cách khác,
$$A:B:C$$
được hiểu là $(A:B):C$, không phải $A:(B:C)$.
Với biểu thức có nhiều phép tính, thực hiện trong ngoặc trước; sau đó thực hiện nhân, chia; cuối cùng thực hiện cộng, trừ. Mỗi kết quả trung gian nên được rút gọn để tránh biểu thức trở nên cồng kềnh.
Ví dụ: nhân và chia phân thức
**a) Phép nhân**
$$\begin{aligned}
\frac{x^2-4}{3x}\cdot\frac{6x}{x+2}
&=\frac{(x-2)(x+2)}{3x}\cdot\frac{6x}{x+2}\\
&=2(x-2).
\end{aligned}$$
**b) Phép chia**
$$\begin{aligned}
\frac{x^2-1}{2x}:\frac{x+1}{4x^2}
&=\frac{x^2-1}{2x}\cdot\frac{4x^2}{x+1}\\
&=\frac{(x-1)(x+1)\cdot4x^2}{2x(x+1)}\\
&=2x(x-1).
\end{aligned}$$
Ở câu b, biểu thức ban đầu chỉ có nghĩa khi $x\ne0$ và phân thức dùng làm số chia khác $0$, nên còn cần $x\ne-1$.
Nhân hai phân thức
Rút gọn $\dfrac{x}{x-1}\cdot\dfrac{x^2-1}{2x^2}$ được
Đúng. Đã giản ước một nhân tử $x$ và nhân tử $x-1$.
Sau khi giản ước $x-1$, tử thức còn $x+1$.
Mẫu thức vẫn còn một nhân tử $x$.
Phân thức này chưa giản ước các nhân tử chung.
Lời giải
Ta có $x^2-1=(x-1)(x+1)$. Do đó $\dfrac{x}{x-1}\cdot\dfrac{(x-1)(x+1)}{2x^2}=\dfrac{x+1}{2x}$. Chọn A.
Chia hai phân thức
Rút gọn $\dfrac{3x}{x+2}:\dfrac{6x^2}{x^2-4}$ được
Đúng. Đã đảo phân thức thứ hai rồi giản ước đúng các nhân tử chung.
Đây là dạng đảo của kết quả đúng.
Nhân tử còn lại ở tử là $x-2$, không phải $x+2$.
Sau khi giản ước vẫn còn nhân tử $x-2$ ở tử.
Lời giải
Đổi phép chia thành phép nhân và phân tích $x^2-4=(x-2)(x+2)$: $\dfrac{3x}{x+2}\cdot\dfrac{(x-2)(x+2)}{6x^2}=\dfrac{x-2}{2x}$. Chọn A.
Kiến thức cần nhớ
Nhân phân thức bằng cách nhân tử với tử, mẫu với mẫu; nên phân tích và giản ước trước khi nhân. Chia phân thức bằng cách giữ nguyên phân thức thứ nhất, đảo tử và mẫu của phân thức thứ hai rồi nhân; số chia phải khác $0$. Không có ngoặc thì các phép nhân, chia được thực hiện từ trái sang phải.