Bình phương của một tổng
Với hai biểu thức bất kì $A,B$,
$$\boxed{(A+B)^2=A^2+2AB+B^2.}$$
Bình phương của một tổng gồm ba hạng tử:
1. bình phương biểu thức thứ nhất;
2. cộng hai lần tích hai biểu thức;
3. cộng bình phương biểu thức thứ hai.
Số hạng giữa $2AB$ rất dễ bị bỏ quên. Vì thế, nói chung $(A+B)^2\ne A^2+B^2$.
Bình phương của một hiệu
Với hai biểu thức bất kì $A,B$,
$$\boxed{(A-B)^2=A^2-2AB+B^2.}$$
Hai số hạng bình phương vẫn mang dấu cộng; chỉ số hạng giữa mang dấu trừ. Có thể nhớ bằng cấu trúc:
$$\text{bình phương thứ nhất}\;-\;2\cdot\text{thứ nhất}\cdot\text{thứ hai}\;+\;\text{bình phương thứ hai}.$$
Do đó, $(A-B)^2$ không bằng $A^2-B^2$.
Ví dụ: khai triển và thu gọn
Khai triển $(2x-3y)^2$.
Chọn $A=2x$, $B=3y$. Khi đó,
$$\begin{aligned}
(2x-3y)^2
&=(2x)^2-2\cdot2x\cdot3y+(3y)^2\\
&=4x^2-12xy+9y^2.
\end{aligned}$$
Dấu trừ ở giữa không làm cho số hạng cuối âm, vì $(3y)^2=9y^2$.
Ví dụ: nhận dạng một bình phương
Xét $x^2+6x+9$:
- $x^2$ và $9=3^2$ là hai số hạng bình phương;
- số hạng giữa $6x=2\cdot x\cdot3$.
Vì vậy,
$$x^2+6x+9=(x+3)^2.$$
Khi nhận dạng, phải kiểm tra đủ cả ba hạng tử, đặc biệt là số hạng giữa.
Khai triển bình phương của một hiệu
Khai triển $(3x-2)^2$ được kết quả nào?
Phương án này thiếu số hạng giữa.
Đúng. Số hạng giữa là $-2\cdot3x\cdot2=-12x$.
Hệ số của số hạng giữa phải là $2\cdot3\cdot2=12$.
Dấu của số hạng giữa phải là dấu trừ.
Lời giải
Ta có $(3x-2)^2=(3x)^2-2\cdot3x\cdot2+2^2=9x^2-12x+4$. Chọn B.
Nhận dạng bình phương hoàn chỉnh
Đa thức nào bằng $(2x+5)^2$?
Số hạng giữa phải là $2\cdot2x\cdot5=20x$.
Số hạng đầu phải là $(2x)^2=4x^2$.
Phương án này thiếu số hạng giữa.
Đúng. Ba hạng tử lần lượt là $(2x)^2$, $2\cdot2x\cdot5$ và $5^2$.
Lời giải
Áp dụng $(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$ với $A=2x$, $B=5$: $(2x+5)^2=4x^2+20x+25$. Chọn D.
Kiến thức cần nhớ
Hai công thức có cùng hai số hạng bình phương và khác dấu ở số hạng giữa:
$$\begin{aligned}
(A+B)^2&=A^2+2AB+B^2,\\
(A-B)^2&=A^2-2AB+B^2.
\end{aligned}$$