Đoạn vuông góc và đường xiên
Cho điểm $A$ nằm ngoài đường thẳng $d$. Kẻ $AH\perp d$ tại $H$.
- $AH$ là **đoạn vuông góc** kẻ từ $A$ đến $d$; $H$ là chân đường vuông góc.
- Với $M\in d$ và $M\ne H$, đoạn $AM$ là một **đường xiên** kẻ từ $A$ đến $d$.
Tam giác $AHM$ vuông tại $H$, nên $AM$ là cạnh huyền. Do đó
$$AH<AM.$$
Vậy trong các đoạn nối $A$ với một điểm trên $d$, đoạn vuông góc $AH$ là đoạn ngắn nhất.
Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
Độ dài đoạn vuông góc $AH$ gọi là **khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $d$**.
Khoảng cách là một độ dài, vì thế không âm. Nếu $A$ nằm trên $d$ thì khoảng cách từ $A$ đến $d$ bằng $0$.
Để tìm khoảng cách, cần xác định đúng chân đường vuông góc. Không lấy tùy ý độ dài của một đường xiên.
Ví dụ: chọn đoạn ngắn hơn
Từ điểm $P$ nằm ngoài đường thẳng $a$, kẻ $PK\perp a$ tại $K$ và lấy hai điểm $M,N$ khác $K$ trên $a$.
Vì $PM$ và $PN$ là hai đường xiên, nên
$$PK<PM\quad\text{và}\quad PK<PN.$$
Nếu $PK=4{,}2$ cm thì khoảng cách từ $P$ đến $a$ bằng $4{,}2$ cm. Chưa có đủ dữ kiện để so sánh $PM$ với $PN$.
So sánh đoạn vuông góc và đường xiên
Cho $AH\perp d$ tại $H$, $M\in d$ và $M\ne H$. Khẳng định đúng là
$AM$ là cạnh huyền nên dài hơn, không ngắn hơn $AH$.
Đúng. Đoạn vuông góc là đoạn ngắn nhất nối $A$ với $d$.
Chỉ bằng nhau nếu $M=H$, trái với giả thiết.
Có thể so sánh nhờ tam giác vuông $AHM$.
Lời giải
Tam giác $AHM$ vuông tại $H$, nên $AM$ là cạnh huyền và $AM>AH$. Vì thế $AH<AM$. Chọn B.
Xác định khoảng cách
Từ $A$ đến đường thẳng $d$ có $AH\perp d$, $AH=5$ cm và một đường xiên $AM=7$ cm. Khoảng cách từ $A$ đến $d$ bằng
Không cộng độ dài đoạn vuông góc và đường xiên.
$AM$ là đường xiên, không biểu thị khoảng cách.
Không lấy hiệu hai độ dài đã cho.
Đúng. Khoảng cách là độ dài $AH=5$ cm.
Lời giải
Khoảng cách từ $A$ đến $d$ là độ dài đoạn vuông góc $AH$, nên bằng $5$ cm. Chọn D.
Kiến thức cần nhớ
Từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng, đoạn vuông góc ngắn hơn mọi đường xiên. Độ dài đoạn vuông góc là khoảng cách từ điểm đến đường thẳng.