Bất đẳng thức tam giác

Trong một tam giác, độ dài của một cạnh nhỏ hơn tổng độ dài hai cạnh còn lại. Với tam giác có ba cạnh $a,b,c$: $$a<b+c,\qquad b<c+a,\qquad c<a+b.$$ Dấu bất đẳng thức phải là dấu nghiêm. Nếu một độ dài bằng tổng hai độ dài còn lại thì ba đoạn chỉ nằm thẳng hàng, không tạo thành tam giác.

Từ $b<a+c$ suy ra $b-c<a$; từ $a<b+c$ suy ra $a-c<b$. Vì vậy, nếu $b\ge c$ thì cạnh $a$ thỏa mãn $$b-c<a<b+c.$$ Nói cách khác, một cạnh nằm giữa hiệu và tổng của hai cạnh còn lại. Hai đầu mút đều không được lấy.

Để kiểm tra nhanh, hãy sắp xếp ba độ dài dương và gọi độ dài lớn nhất là $z$, hai độ dài còn lại là $x,y$. - Nếu $z\ge x+y$, ba độ dài không thể là ba cạnh của một tam giác. - Nếu $z<x+y$, bộ ba không bị loại bởi bất đẳng thức tam giác; trong bài dựng hoặc bài thực tế, tiếp tục đối chiếu hình và các điều kiện còn lại. Kiểm tra cạnh lớn nhất giúp tránh phải tính lặp lại ba tổng.