Đường trung tuyến và trọng tâm

Trong tam giác $ABC$, nếu $M$ là trung điểm của cạnh $BC$ thì đoạn thẳng $AM$ là một **đường trung tuyến** của tam giác. Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến, mỗi đường xuất phát từ một đỉnh và đi đến trung điểm của cạnh đối diện. Để kết luận $AM$ là đường trung tuyến, cần có đủ hai ý: $M\in BC$ và $MB=MC$.

Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó gọi là **trọng tâm** của tam giác. Trong tam giác $ABC$, nếu $AM$, $BN$, $CP$ là ba đường trung tuyến thì $$AM\cap BN\cap CP=G,$$ với $G$ là trọng tâm. Trọng tâm luôn nằm bên trong tam giác.

Trọng tâm cách đỉnh một khoảng bằng $\dfrac23$ độ dài đường trung tuyến: $$AG=\frac23AM.$$ Do đó $$AG=2GM\qquad\text{và}\qquad GM=\frac13AM.$$ Quy tắc này đúng trên cả ba đường trung tuyến. Phần dài hơn luôn nằm về phía đỉnh.