Ước chung và số lớn nhất trong các ước chung
Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó. Tập hợp ước chung của $a,b$ được kí hiệu là $ƯC(a,b)$.
Ước chung lớn nhất là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung, kí hiệu là $ƯCLN(a,b)$.
Trong bài học này chỉ xét ước chung của các số khác $0$. Cần phân biệt: $ƯC(a,b)$ là một tập hợp, còn $ƯCLN(a,b)$ là một số.
Ví dụ: tìm bằng cách liệt kê
Ta có
$$Ư(18)=\{1;2;3;6;9;18\},$$
$$Ư(30)=\{1;2;3;5;6;10;15;30\}.$$
Do đó
$$ƯC(18,30)=\{1;2;3;6\},\qquad ƯCLN(18,30)=6.$$
Số $6$ là phần tử lớn nhất của tập hợp ước chung.
Tìm ƯCLN bằng phân tích thừa số nguyên tố
Thực hiện ba bước:
1. Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
2. Chọn các thừa số nguyên tố chung.
3. Với mỗi thừa số chung, lấy số mũ nhỏ nhất rồi lập tích.
Các số mũ nhỏ nhất bảo đảm tích tìm được vẫn là ước của tất cả các số.
Ví dụ: tìm ƯCLN và ƯC
Phân tích
$$36=2^2\cdot3^2,\qquad84=2^2\cdot3\cdot7.$$
Các thừa số chung là $2,3$. Lấy số mũ nhỏ nhất, được
$$ƯCLN(36,84)=2^2\cdot3=12.$$
Các ước chung của $36,84$ chính là các ước của $12$:
$$ƯC(36,84)=\{1;2;3;4;6;12\}.$$
Trường hợp đặc biệt và ý nghĩa thực tế
Nếu số nhỏ nhất là ước của các số còn lại thì ƯCLN chính là số nhỏ nhất. Chẳng hạn, $6$ là ước của $18$ nên $ƯCLN(6,18)=6$.
Trong bài toán cắt các đoạn thành những phần bằng nhau dài nhất, hoặc chia thành nhiều nhóm nhất mà mỗi nhóm có cơ cấu như nhau, đại lượng cần tìm thường là ƯCLN.
Tìm ước chung lớn nhất
$ƯCLN(40,70)$ bằng bao nhiêu?
Số $5$ là ước chung nhưng chưa phải ước chung lớn nhất.
Đúng. $10$ là ước chung lớn nhất.
Số $20$ không chia hết $70$.
Số $35$ không chia hết $40$.
Lời giải
$40=2^3\cdot5$ và $70=2\cdot5\cdot7$. Các thừa số chung là $2,5$, mỗi thừa số lấy số mũ nhỏ nhất bằng $1$. Vậy $ƯCLN(40,70)=2\cdot5=10$. Chọn B.
Chọn số mũ nhỏ nhất
Cho $a=2^3\cdot3^2$ và $b=2^2\cdot3\cdot5$. Giá trị $ƯCLN(a,b)$ là:
Đúng. ƯCLN dùng thừa số chung với số mũ nhỏ nhất.
Dạng này bằng $a$ nhưng không chia hết $b$.
Đã lấy cả thừa số riêng $5$ và số mũ lớn, phù hợp với BCNN chứ không phải ƯCLN.
Số này là ước chung nhưng chưa lớn nhất vì còn thiếu một thừa số $2$.
Lời giải
Các thừa số chung là $2,3$. Số mũ nhỏ nhất của $2$ là $2$, của $3$ là $1$. Do đó $ƯCLN(a,b)=2^2\cdot3=12$. Chọn A.
Kiến thức cần nhớ
Tìm ƯCLN bằng cách chọn các thừa số nguyên tố chung với số mũ nhỏ nhất. Muốn tìm toàn bộ ước chung, tìm các ước của ƯCLN. Các bài toán “chia nhiều nhất” hoặc “đoạn dài nhất” thường dùng ƯCLN.